| 研究課題/領域番号 |
15K17556
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| 研究機関 | 芝浦工業大学 |
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研究代表者 |
廣瀬 三平 芝浦工業大学, デザイン工学部, 助教 (20743230)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 完全WKB解析 / Stokes曲面 / 仮想的変わり点 / 2重変わり点 / 偏微分方程式系 / 振動積分 / 半代数的集合 |
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| 研究実績の概要 |
平成28年度は(1)偏微分方程式系の制限に現れる2重変わり点、(2)振動積分の満たす偏微分方程式系のStokes幾何、(3)代数的記述が可能なStokes幾何を中心にしつつ、関連する偏微分方程式系の完全WKB解析の研究を進めた。
(1)については、2重変わり点がどのような状況で現れるかをPearcey系を中心にして調べ、さらにこの2重変わり点がStokes現象に関係あるかを標準形への変換論を用いることにより考察した。
(2)については、A4型とD4型の単純特異点に関係する振動積分とこの積分の満たす偏微分方程式系のStokes幾何の関係について考察を行った。ここでA2型(Airy積分)、A3型(Pearcey積分)はよく調べられており、重要な例であることを注意しておく。ここでは特に積分から定まる仮想的変わり点と偏微分方程式系から定まる仮想的変わり点の関係を調べた。またA4型については、平成27年度に研究を進めたStokes現象に関わる仮想的変わり点と関わらない仮想的変わり点の入れ替わりがより単純な状況で起こることを確認した。
(3)については、(2)で扱った振動積分を含むような積分表示された函数のStokes幾何が代数的に記述可能であるという事実を用いてその構造を調べた。このクラスのStokes幾何については半代数的集合であり、ある基本的な半代数的集合の多項式写像による引き戻しとして実現できるという結果を得た。さらにこの研究は、単純極を持つ偏微分方程式系の例の構成のきっかけにもなった。単純極を持つ方程式はこれまで常微分方程式において考えられてきたことから、これは重要な例であると思われる。
以上の結果はポルトガル、京都大学で開催された国際研究集会、奈良女子大学や熊本大学で開催された研究集会などにおいて講演を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
予定していたA4型の単純特異点に関係する振動積分を解に持つ偏微分方程式系に対する完全WKB解析については、概要で述べたようにそのStokes幾何の構造の考察が順調に進んでいる。特にこれまでは主に計算機を用いてStokes幾何の構造を考察していたが、概要の(3)で述べたようにある基本的な半代数的集合と多項式写像に帰着されたことは重要である。
さらにこれらに加え、偏微分方程式系の制限に現れる2重変わり点や単純極を持つ偏微分方程式系の構成など、本課題に密接に関係しているが想定していなかった研究が進んでいる。
このように当初予定していなかった研究が進展したために、本来予定していたPearcey系の接続公式、(2,3)型の超幾何系の完全WKB解析については研究が遅れているが、平成28年度に得られた結果はこれらとも密接に関連している。
以上のように予定していた実施計画のすべてを進展させることができず不十分であるが、当初想定していなかった研究が進展しているので「おおむね順調に進展している。」と判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究としては、概要に述べた平成28年度に行った研究を中心にして進める。
偏微分方程式系の制限に現れる2重変わり点については、2重変わり点から出るStokes曲線はその他のStokes曲線と交わるので、さらに新しいStokes曲線、従って仮想的変わり点を付け加える必要があると考えられる。このような仮想的変わり点は偏微分方程式系を考えている限りでは捉えられない。そこでこの仮想的変わり点について、例えば偏微分方程式系が本来持つ仮想的変わり点との比較など、その性質の考察を進める。
振動積分の満たす偏微分方程式系のStokes幾何については、このStokes幾何を振動積分の立場から考察を行う。特に変わり点の考察だけでなく、Stokes曲面についても振動積分の立場から考察を進める。
代数的記述が可能なStokes幾何については、概要に述べたようにある基本的な半代数的集合の多項式写像による引き戻しとして実現できるので、今後はこの基本的な半代数的集合、および多項式写像について、それぞれの考察を進める。特に多項式写像については特異点が重要な情報を持っているので、どのように特異点が現れるか、そしてその特異点の性質を調べる。
さらに、平成28年度に行う予定であったPearcey系の接続公式、(2,3)型の超幾何系の完全WKB解析についても検証を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初の計画よりも旅費が必要であったので優先的に使用し、計算機の購入を見送ったことが理由である。
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| 次年度使用額の使用計画 |
計算機を購入するための物品費として使用する。
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