| 研究実績の概要 |
今年度は, Lax pairをもつ非線形常微分方程式のStokes幾何の研究を行うことを目的とした. パンルヴェ階層, 野海山田方程式といった高階パンルヴェ方程式に対して完全WKB解析は有効で, 多くの重要な結果が発表されている. これまで知られている結果が, Lax pairの両立条件として現れる一般の非線形方程式に対して, どのくらい広く普遍的に成立するのかという問題は大切な問題である. この問題を研究するため, パンルヴェヒエラルキーP_J (J =I,II,IV,34)を統一した形で記述でき, それらのヒエラルキーを特別な場合として含む一般化した非線形システムを新たに導出した. 導出したシステムに対し以下の研究を行った.
1. 完全WKB解析により解の接続問題を扱う時の基底となる解である, 十分多くの自由パラメータを含む, 一般解(インスタントン型形式解)を構成した. この結果により, 未知のインスタントン解の構造の解析が可能となった.
2. 非線形のStokes幾何とLax pairのStokes幾何に対して, 互いの変わり点やStokes曲線の関係を調べることは非線形方程式に対する完全WKB解析の理論上重要である. P_Jヒエラルキーや野海山田方程式とその付随するLax pairのStokes幾何に対して, これまで共通に観測されてきたある幾何学的性質が, 導出した新しいシステムに対しても成立することを証明した.
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