| 研究課題/領域番号 |
15K17567
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
佐藤 洋平 埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (00465387)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 楕円型偏微分方程式 / 変分法 / 摂動法 |
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| 研究実績の概要 |
3つの楕円型方程式から成る連立偏微分方程式において、相互作用の項に引力的な項と斥力的な項が混じっている場合の解構造について研究した。この研究では引力的な項の係数と斥力的な項の係数をそれぞれパラメータとみなし、ふたつのパラメータについて極限をとる操作をすることで解構造の研究をした。昨年度まで研究では、まず始めに引力的な項のパラメータについて極限をとり、次に斥力的な項について極限をとるという二段階の操作をしたときの正値解の多重存在とその解の形状について研究した。
今年度の研究では、極限をとる操作の方法を変え、引力的な項と斥力的な項について同時に極限をとる操作をしたときの解構造について研究した。特に今回、極限操作の方法を変えたことで、エネルギー最小解がピークを形成する位置を、これまでの研究よりも詳細に解析することができた。この研究はZhi-Qiang Wang教授とKAISTのJaeyoung Byeon教授との共同研究であり、以下の論文として発表した。
「Pattern formation via mixed attractive and repulsive interactions for nonlinear Schr\"ouml;dinger systems」 J. Math. Pures Appl. (9) 106 (2016), no. 3, 477-511.
これらの研究成果は中国の南開大学のChern数学研究所で開催された国際ワークショップ「Workshop on Nonlinear PDEs and Calculus of Variations」や横浜国立大学で開催された「横浜国立大学における微分方程式微分方程式セミナー」等で発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究目的として、3つの問題を挙げた。そのうちのひとつである、解のピークが形成される位置に関する問題について明確な進展があり、論文として発表できたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
今回の研究でディリクレ境界条件の下でのエネルギー最小解がピークを持つ位置についての進展があった。この問題は境界条件をノイマン境界条件に代えると、状況が大きく変わり「ホットスポット予想」などとも関連し興味深いことが分かってきた。今後はノイマン境界条件について、同様の研究をユタ州立大学のZhi-Qiang Wang教授とKAISTのJaeyoung Byeon教授との共同研究として行う。さらに、昨年度から目標に挙げていた、空間次元が3次元のときの正値解の多重存在の研究を続けて行う。
また、最近、東京工業大学の柴田将敬助教との議論から、無限遠で定数に漸近するポテンシャルをもつ楕円型方程式の解の存在問題について、2010年のJeanjean-Tanakaの結果とCerami-Devillanova-Soliminiの結果を発展させされる可能性を発見した。今後その研究を柴田将敬氏と協力して行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
28年度の研究では、空間次元が3のときに、k個の正値解の存在を証明し、その結果をシンポジウムや研究集会で発表する予定であったが、当初の予定であった方法だけでは解決できず、計画を変更し、別の方法を模索することとしたため未使用額が生じた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度は別の手法による研究をすすめ、日本数学会などの研究集会やワークショップなどでその研究成果を発表することとし、未使用額はその経費に充てることにしたい。
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