| 研究課題/領域番号 |
15K17567
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
佐藤 洋平 埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (00465387)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 楕円型偏微分方程式 / 変分法 / 摂動法 / ノイマン境界条件 / 無限個解 |
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| 研究実績の概要 |
3つの楕円型方程式から成る連立偏微分方程式において、相互作用の項に引力的な項と斥力的な項が混じっている場合の解構造について研究した。この研究では引力的な項の係数と斥力的な項の係数をパラメータとみなし、ふたつのパラメータについて極限をとることで解の研究をした。昨年度までの研究では境界条件がディリクレ境界条件のときの解構造を研究し、エネルギー最小解の存在と、エネルギー最小解がピークを形成する位置について解析した。
今年度の研究では、境界条件をノイマン境界条件に代え、エネルギー最小解の存在と、エネルギー最小解がピークを形成する位置について解析した。その結果、ディリクレ境界条件のときはピークが形成される位置は、単独の楕円型方程式のエネルギー最小解の境界での微分の大きさで決まったが、ノイマン境界条件のときは、単独の楕円型方程式のエネルギー最小解の最小点の位置で決まることを解明した。この結果はZhi-Qiang Wang教授とJaeyoung Byeon教授との共同研究であり、以下の論文として発表した。
「Pattern formation via mixed interactions for coupled Schr\"odinger equations under Neumann boundary condition.」 J. Fixed Point Theory Appl. 19 (2017), no. 1, 559-583.
また、無限遠で定数に漸近するポテンシャルをもつ楕円型方程式について、非線形項がべき乗項の場合に、Cerami-Devillanova-Soliminiが無限個解の存在を証明していた。今回、かなり一般の非線形項に対しても無限個解の存在を証明できることを示した。これは東京工業大学の柴田将敬氏との共同研究であり、その成果は論文としてまとめ現在投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究目的として、3つの問題を挙げた。そのうちのひとつである解のピークが形成される位置に関する問題について明確な進展があり、論文として発表できたため。また当初の研究計画になかったが、無限遠で定数に漸近するポテンシャルをもつ楕円型方程式の可算無限個解の存在問題についても成果を得られたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
3つの楕円型方程式から成る連立偏微分方程式において、これまでディリクレ境界条件とノイマン境界条件の下で、エネルギー最小解がピークを形成する位置について解析してきた。その解析の中で球対称関数に制限したときにエネルギー最小解の解の形状についての疑問と予想が生じたのでその研究を行う。この研究はZhi-Qiang Wang教授とJaeyoung Byeon教授との共同研究として行う。
無限遠で定数に漸近するポテンシャルをもつ楕円型方程式の可算無限個解の存在問題についても成果は空間次元が3次元以上の場合だけであるので、空間次元が1次元または2次元の場合についての研究を行う。この研究は東工大の柴田将敬氏との共同研究として行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（理由）29年度の研究では、空間次元が3のときに、k個の正値解の存在を証明し、その結果をシンポジウムや研究集会で発表する予定であったが、当初の予定であった方法だけでは解決できず、未使用額が生じた。
（使用計画）次年度は計画を変更し、新たに生じた問題である球対称関数に制限したときの解の形状の問題や、無限遠で定数に漸近するポテンシャルをもつ方程式の可算無限個解の存在問題の研究をすすめ、日本数学会などの研究集会やワークショップなどでその研究成果を発表することとし、未使用額はその経費に充てることにしたい。
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