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本年度は非線形シュレディンガー方程式の臨界周波数をもつ基底状態解の長時間振動ならびに非線形量子ウォークの連続極限についての研究成果を得た。
非線形シュレディンガー方程式の臨界周波数をもつ基底状態解の振動現象は前年度までの研究によりその挙動の効果的方程式を得ていたが、本年度はバーコフ標準形理論を用いることにより任意のオーダーの多項式時間において振動が継続することを示すことができた。ソリトン分解予想により非線形シュレディンガー方程式の解の漸近挙動は比較的単純であると考えられているが、この研究によりとても長い時間複雑な挙動を示し続ける解の存在が示された。ここで得られた解の減衰、漸近挙動は今後の研究課題となる。
非線形量子ウォークは時空間が離散化された非線形分散型方程式であり様々な現象と関係することから近年多大な注目を集めている。もともと量子ウォークはディラック方程式の離散化として提唱されたものであるが、その連続極限の数学的に厳密な研究はなされてこなかった。前年度より本研究課題研究代表者らが行っている量子ウォークに対する偏微分方程式的手法により量子ウォークの極限をエネルギー法を用いて得ることができた。この方法は今までのトロッター加藤の方法と違い非線形にも適用することができ、いまだほとんど何もわかっていない非線形量子ウォークの時間大域挙動の研究にディラック方程式の知見を活かす道筋が得られた。
また研究期間全体を通して、ダルブーの定理、バーコフ標準形などのハミルトン構造に基づくソリトン解の解の挙動の解析は、特に効果的方程式を導出する手続きの標準化という意味で大きな成果が得られたと考えている。
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