| 研究実績の概要 |
第一固有値問題に対応する, パラメータを２個持つ $(p,q)$-Laplace 方程式の正値解の存在・非存在については Bobkov 氏との共同研究(2015年) により完全に解明していたが, その解の性質などについては何も研究を行っていなかった. また, 第一固有値に対応する正値解は一般に対応する汎関数の minimizer や ground state として得られるので, 今回の Bobkov 氏との共同研究(Comm.PAA, 2018) では minimizer や ground state の特徴付けなどを行った. この研究で, パラメータがある値を取るときに, $p$, $q$ や領域に依存して ground state の存在と非存在が変化することが分かった. これは先行研究では全く出てこなかった結果であるので今後に研究する必要があると考えている.
二つ目の Bobkov 氏との共同研究では, 第二固有値問題に関係する符号変化解の存在についての結果を得ることが出来た. 符号変化解については, 同氏との先行研究において, パラメータが $p$-Laplacian の固有値でない場合（nonresonant） には結果を得ていたが, 元の $p$-Laplacian の固有値自体が未解決であるので, このような状況以外にも研究を行う必要があった. 二つ目の共同研究では, nonresonant でない一般の場合でも適用できる結果を得ることに成功した. また, $(p,q)$-Laplacian は二つの作用素 $p$-Laplacian と $q$-Laplacian によって構成されているので, それぞれの固有値の影響を受けることが分かる. 今回は先行結果で扱かっていた範囲を逆にしたような場合にも符号変化解の存在を示すことが出来た.
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| 今後の研究の推進方策 |
固有値問題の一つとして, 重み付き固有値問題に取りかかる予定である.
また, 第一固有値問題に関連した研究として $p$-Laplacian の Fredholm の交代定理がある. これは $p$ が $2$ 以外のときは $p=2$ の Laplacian に対する結果と異なることが知られている. そこで, $(p,q)$-Laplacian に対して Fredholm の交代定理に対応する研究に取りかかる予定である.
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