| 研究課題/領域番号 |
15K17594
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
池田 幸太 明治大学, 総合数理学部, 専任准教授 (50553369)
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| 研究期間 (年度) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 応用数学一般 / 中心多様体縮約理論 |
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| 研究実績の概要 |
２０１７年度の研究では、特に樟脳船の集団運動に関するモデル方程式における中心多様体理論の整備に注力した。前年度までに得られていた線形化作用素の基本的な性質、フレドホルム性、固有値の存在範囲、レゾルベント評価により射影作用素を「離散的」に定義した。先行研究とは異なる手法で射影作用素は構成されたので、既存の結果が本研究でも成り立つことを再確認する必要がある。特に、正則性の低い中心多様体上に解が一意的に射影可能である点について確認できた。中心多様体理論において基本となる事実の証明に成功したことにより、本研究で目指した中心多様体理論の整備が完了したと言える。この結果を論文にまとめ、現在投稿中である。
フィッツヒュー・南雲方程式に代表される、興奮系の反応拡散方程式系におけるパルス波の集団運動は、各パルス波を特徴付ける２つ遷移層の運動を記述する方程式と、相互作用を引き起こす外部場を記述する拡散方程式によって記述される。ここで得られた方程式系に中心多様体縮約理論を適用することで、集団運動の解析を行いたい。この方程式系は階段関数のような不連続性を含んでいるため、樟脳船のモデル方程式と同様に、線形化作用素にデルタ関数が現れる。そのため、樟脳船のモデル方程式において確立した中心多様体理論が適用できるだろう。しかし、樟脳船のモデル方程式の場合と異なり、固有関数以外の関数が縮約過程で現れてしまう。したがって、本研究において中心多様体理論が適用できるかどうか、検証する必要があることが分かった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
樟脳船のモデル方程式における中心多様体理論に関して、解を一意的に中心多様体上に射影できることを示した。これにより中心多様体理論の整備が完了した。本研究に関わる内容を既に論文にまとめ終わり、現在論文を投稿中である。
パルス波の渋滞現象を解析するため、パルス波の位置と幅に関する縮約方程式を導出することを目標としている。縮約過程で重要となる関数を具体的に構成することに成功した。中心多様体理論の根幹をなす結果が得られたと言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
３０年度は２変数反応拡散方程式であるフィッツヒュー・南雲方程式におけるパルス波に関して、中心多様体理論を新たに構築することで解析したい。解析では、前年度までに得られた２つの結果を組み合わせる。すなわち、デルタ関数を含む系に対して整備した中心多様体理論、および、縮約過程で重要となる関数を用いる。まずは線形化作用素に関するレゾルベント評価を行う。必要な評価を取得後、射影作用素の性質を明らかにしたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
共同研究を推進するために共同研究者との研究議論が必要であるが、既存の理論では捉えきれない計算結果が得られるなど、当初想定していなかった事態が生じた。2017年度に共同研究打ち合わせを行ったものの、まず論文作成等に時間が必要であったため、研究議論を行えるだけの時間を確保することが難しかった。また、その後もスケジュール調整が難しかった。そのため、研究期間を延長することで、共同研究打ち合わせのための十分な時間を確保する必要があり、その出張費用が必要となる。
2018年度、共同研究打ち合わせのための出張費用を計上する。得られた結果を広く内外に知らせるため、国際研究集会での研究発表を予定している。その出張費用も計上する。さらに、既存の研究結果を知るため、書籍の購入も予定している。
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