| 研究実績の概要 |
1. 弘前大学の岡部孝宏氏との共同研究で、全空間R^n上での非圧縮粘性 Navier-Stokes方程式に対する局所解への結果が得られた。 具体的には, 弱 L^n空間における大きな初期値にある種の滑らかさを課せば, 局所解を構成できることを示した。解の初期時刻での非連続性を考慮した近似解の構成法を用いることが重要な点となっている。その他にも、Meyerの端点評価を用いて、一意性に関していくつかの結果を得ている。
2. Kakeya予想に関連する 極大Bochner-Riesz 平均 に対して, sparse bound と呼ばれる評価を研究し、不十分で部分的ではあるが進展があった。具体的には、Bochner-Riesz 平均によく似た, Riesz 平均を扱っている。極大でないものに対して、これらの2つの有界性は同値であるが、極大にするとこの同値性が壊れるのではないかという考えの下、Riesz 平均を対象としている。問題はいくつかの Fourier multiplier の有界性に帰着されるが、本研究では、Sogge による 波動発展作用素への帰着を用いている. ただ, Sogge による帰着では Sobolev に不等式を用いているため生じる l^2 norm が表れているが, それは簡単な変数変換により l^1 norm に変えて成立するので、それを用いている。L^1, L^infty -有界に関連する sparse bound は, 既存の結果を利用すると得られる。その他の sparse bound については, Bernstein の不等式も用いて得られているが、その最良性まではわかっていない。Bochner-Riesz平均についても同様に結果が得られる。
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