研究課題
基盤研究(B)
離散アルゴリズムの評価基準は、漸近的な計算時間がほとんど唯一のものとされてきた。しかし、これは評価尺として適切でない場合もしばしば指摘され、様々な角度からアルゴリズムを評価する動きが高まってきた。たとえば、困難な組合せ問題を近似アルゴリズムで解く時の近似度や、将来の入力が分からないオンライン問題に対するアルゴリズムの良さをオフラインアルゴリズムの性能との比較で議論する競合比は、現在最も重要視されている尺度である。本研究では、このような新しい各種尺度を、「工学的評価基準」としてとらえ、そのもとで高性能なアルゴリズムを開発する。ネットワークアルゴリズム、マッチングアルゴリズム、SATアルゴリズムの観点から研究を進めた。以下、代表低な成果である安定結婚問題と頂点被覆問題について述べる。安定結婚問題の拡張として、希望リストに同順位と不完全指定を許した問題においては最大サイズの安定マッチングを求める問題はNP困難であることが知られている。この問題では、2-近似アルゴリズムは自明である。これまで知られている最良の近似度は2-c/$\sqrt{n}$であったが、我々は初めて2よりも厳密によい近似度である1.8-近似アルゴリズムを達成した。NP困難問題の一つである頂点被覆問題(VC)が2-ε近似可能か否かは極めて重要性の高い未解決問題であり、その近似不可能性が強く信じられている。我々は密なグラフ上のVCを考え、近似度2を大きく下回る2/(1+Δ/d)の近似アルゴリズムを開発した。ここで、Δはグラフの最大次数、dは平均次数を表す。もしもより良い近似率を達成する結果が存在するならば、一般のVCにおいて2-εの近似度が得られるため、我々の結果が最適である。
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