| 研究分担者 |
塩谷 隆 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (90235507)
井関 裕靖 東北大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (90244409)
尾畑 伸明 東北大学, 大学院・情報科学研究科, 教授 (10169360)
砂田 利一 明治大学, 理工学部, 教授 (20022741)
納谷 信 名古屋大学, 大学院・多元数理科学研究科, 教授 (70222180)
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| 研究概要 |
結晶格子上のランダム・ウォークの長時間挙動及び磁場付き推移作用素のスペクトルの性質と結晶格子の幾何学的性質の関係を研究し,総説をまとめAmer. Math. Soc. Sugaku Expositoryに公表した.結晶格子をもっとも対称性が高く自然な形に表す標準的実現がキーとなる記述であるが,中心極限定理のスケーリング,大偏差のスケーリングでは異なる幾何学的対象が捕らえられる.結晶格子とは,自由アーベル群が自由に作用し,商空間が有限グラフとなる無限グラフである.この周期性から,結晶格子を無限遠から観察すると一様な図形に見える.より正確に述べる.結晶格子をグラフ距離によって距離空間と考え,距離をスケール変換した距離空間の1パラメーター族を得る.このスケールをゼロに近付けたときのグロモフ・ハウスドルフ位相による極限距離空間を,結晶格子の無限遠での接錐という.結晶格子のようなアーベル周期性をもつ距離空間の無限遠での接錐の存在は,グロモフによって知られているが,この極限距離空間を具体的に,また,グラフの幾何の言葉で特徴つけた.更に,この極限空間の単位距離球が,ランダム・ウォークの大偏差源氏に現れるレート関数の本質的定義域と一致することを示し,Math.Z.に発表した.3次元ユークリッド空間に標準的実現された結晶格子のなかで最も等方性の高いグラフの分類が行われ,ダイヤモンドと対となるK4格子が特徴付けられた,これを炭素格子として実現した場合の安定性,更にどのような物性を持つ可能性があるかについて研究を行なった.
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