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2007 年度 研究成果報告書概要

組みひも理論と超平面配置,および共形場理論への応用

研究課題

研究課題/領域番号 16340014
研究種目

基盤研究(B)

配分区分補助金
応募区分一般
研究分野 幾何学
研究機関東京大学

研究代表者

河野 俊丈  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (80144111)

研究分担者 森田 茂之  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (70011674)
寺杣 友秀  東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (50192654)
斎藤 恭司  京都大学, 数理解析研究所, 教授 (20012445)
寺尾 宏明  北海道大学, 大学院・理学研究院, 教授 (90119058)
三町 勝久  東京工業大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (40211594)
研究期間 (年度) 2004 – 2007
キーワード配置空間 / ループ空間 / 反復積分 / 超幾何関数 / KZ方程式 / 写像類群
研究概要

本研究では,反復積分の理論のループ空間への応用と,位相不変量の構成についての成果を挙げた.
具体的には,配置空間のループ空間のホモロジーの代数構造を研究し,応用として,リンクホモトピー不変量を配置空間のループ空間のド・ラム コホモロジーを用いて組織的に記述する方法を与えた.また,有理数体上定義されたドリンフェルト結合子を援用して,組みひも群の有理数体上定義された代数への普遍的な表現,有理数に値をもつ,有限型不変量に関する研究を行った.また,局所系係数のホモロジー群の作用として与えられる組みひも群の表現と,KZ方程式のモノドロミー表現との関係を記述した.特に,リーマン球面上の共形場理論における共形ブロックの空間の基底を,超幾何積分による表示によって与えた.ここで,積分を行うサイクルは局所系係数の正規化可能なサイクルであることを明らかにした.反復積分のその他の応用として,双曲単体の体積をシュレフリと青本の方法を用いて対数微分形式の反復積分によって表現した.また,この記述によって体積関数がモジュライ空間上満たす微分方程式を求め,体積関数のモジュライ空間の境界上での漸近挙動を考察した.このような研究により,対数微分形式の反復積分の幾何学への応用について新たな知見が得られた.森田は写像類群のコホモロジー群の構造に関する研究を発展させて,そこで培われた手法を,グラフのモジュライ空間,自由群の自己同型群のコホモロジーなど新たな研究対象への応用を進めた.寺杣は反復積分と多重ゼータ値について,数論幾何学の手法による研究を行った.斎藤は,周期積分の理論における原始形式の研究をさらに発展させ,特異点に対する連接層のなす導来圏の構造を考察した.寺尾は超平面配置の理論の研究の数理経済学への応用,とくにアローの不可能性定理の幾何学的な拡張に成功した.三町はセルバーグ型の積分を対象として,局所系係数のホモロジーの交差形式を用いたジョーンズ多項式の新しい解釈を与えるなど重要な成果を挙げた.

  • 研究成果

    (12件)

すべて 2008 2007 その他

すべて 雑誌論文 (7件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (4件) 図書 (1件)

  • [雑誌論文] Chambers of Arrangements of Hyperplanes and Arrow's Impossibility Theorem2007

    • 著者名/発表者名
      H.Terao
    • 雑誌名

      Advances in Math. 214

      ページ: 366-378

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] The volume of a hyperbolic simplex and iterated integrals2007

    • 著者名/発表者名
      T.Kohno
    • 雑誌名

      Series on Knots and Everything 40

      ページ: 179-188

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Characteristic classes of foliated surface bundles with area-preserving holonomy2007

    • 著者名/発表者名
      D.Kotschick, S.Morita
    • 雑誌名

      Journal of Diffrerential Geometry 75

      ページ: 273-302

    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
    • 査読あり
  • [雑誌論文] The volume of a hyperbolic simplex and iterated integrals2007

    • 著者名/発表者名
      Toshitake Kohno
    • 雑誌名

      Series on Knots and Everything 40

      ページ: 179-188

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [雑誌論文] Chambers of Arrangements of Hyperplanes and Arrow's Impossibility Theorem2007

    • 著者名/発表者名
      Hiroaki Terao
    • 雑誌名

      Advances in Math 214

      ページ: 366-378

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [雑誌論文] Characteristic classes of foliated surface bundles with area-preserving holonomy2007

    • 著者名/発表者名
      Dieter Kotschick, Shigeyuki Morita
    • 雑誌名

      Journal of Differential Geometry

      ページ: 273-302

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [雑誌論文] On orbit configuration spaces associated to groups acting on the upper half plane

    • 著者名/発表者名
      F.R.Cohen, T.Kohno, M.A.Xicont'encatl
    • 雑誌名

      Journal of Pure and Applied Algebra (in press)

    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [学会発表] Loop spaces of configuration spaces and link homotopy invariants2007

    • 著者名/発表者名
      Thshiatke Kohno
    • 学会等名
      East Asian Conference on Algebraic Topology
    • 発表場所
      Seoul National University
    • 年月日
      20071100
    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [学会発表] Representing braids by hypergeometric integrals2007

    • 著者名/発表者名
      Toshitake Kohno
    • 学会等名
      Programs on Braids
    • 発表場所
      Singapore
    • 年月日
      20070700
    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [学会発表] Loop spaces of configuration spaces and link homotopy invariants2007

    • 著者名/発表者名
      Toshitake Kohno
    • 学会等名
      Many Strands in Braids
    • 発表場所
      Banff Center, Canada
    • 年月日
      20070500
    • 説明
      「研究成果報告書概要(欧文)」より
  • [学会発表] モジュライ空間のコホモロジー,リーマン面,グラフ,ホモロジーシリンダー2007

    • 著者名/発表者名
      森田茂之
    • 学会等名
      日本数学会
    • 発表場所
      埼玉大学
    • 年月日
      2007-03-25
    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より
  • [図書] 場の理論とトポロジー2008

    • 著者名/発表者名
      河野俊丈
    • 総ページ数
      144
    • 出版者
      岩波書店
    • 説明
      「研究成果報告書概要(和文)」より

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公開日: 2011-06-18  

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