ホモトピー論的観点から見た大域的特異点論

2005 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 16340018
• 研究機関: 九州大学
• 研究代表者: 佐伯 修 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (30201510)
• 研究分担者: 佐久間 一浩 近畿大学, 理工学部, 助教授 (80270362) ; 大本 亨 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20264400) ; 岩瀬 則夫 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (60213287) ; 高山 晴子 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助手 (90274430)
• キーワード: トポロジー / 特異点論 / ホモトピー論 / 多様体 / 可微分写像 / 同境

研究概要

多様体間の可微分写像やその特異点についての研究は,WhitneyやThomに始まりその後大きな発展を遂げた.特に局所的性質が多く研究され,現在では多くの理論・道具が確立されている.しかし,多様体の本質的構造に関わる大域的性質(写像全体としての性質)の研究は,重要であるにもかかわらずあまりなされてこなかった.そこで本研究では,大域的特異点論の種々の重要な未解決問題を,ホモトピー論的観点から,より大きな枠組みの中で解決してゆくことを目的とした.
本年度は,以下の項目について研究を進めてゆき,後に述べるような結果を得た.
(ア)高次の障害類(イ)特異ファイバーの普遍空間(ウ)多様体の可微分構造と写像の特異点の関係
(ア)については,球面をファイバーとして持つ可微分写像についての研究を佐伯と岩瀬が行い,そうした写像を許容する多様体が満たすべきホモトピー論的性質をいくつか得た.こうした性質は,ある種の可微分写像を許容するための高次の障害類と結びついていることが明らかにされた.(イ)については,曲面上の関数に関する特異ファイバーの普遍複体を考察することにより,特異ファイバーの理論から曲面束の特性類が構成できることを佐伯が示した.さらにこうした理論と普遍空間のコホモロジー群との関係についていくつかの結果を佐伯と大本が得た.曲面の写像類群との関係については今後佐伯と高山がさらに研究を行ってゆく計画である.(ウ)については可微分写像の特異点と可微分構造の関係についてのこれまでの結果を佐伯と佐久間が整理するとともに,定値折り目特異点の消去が,ある場合には可微分構造とは無関係に可能であることを佐伯が示した.

研究成果

• [雑誌論文] Stable mapping class groups of 4-manifolds with boundary (2006)
  • 著者名/発表者名: O.Saeki
  • 雑誌名: Trans.Amer.Math.Soc. 358巻5号 ページ: 2091-2104
• [雑誌論文] Concordance des noeuds de dimension 4 (2006)
  • 著者名/発表者名: V.Blanloeil et al.
  • 雑誌名: Canadian Mathematical Bulletin (掲載予定)
• [雑誌論文] Morse functions with sphere fibers (2006)
  • 著者名/発表者名: O.Saeki
  • 雑誌名: Hiroshima Math.J. (掲載予定)
• [雑誌論文] Elimination of definite fold (2006)
  • 著者名/発表者名: O.Saeki
  • 雑誌名: Kyushu J.Math. (掲載予定)
• [雑誌論文] Cobordism of fibered knots and related topics (2006)
  • 著者名/発表者名: V.Blanloeil et al.
  • 雑誌名: Advanced Stud. in Pure Math. (掲載予定)
• [雑誌論文] Singular fibers of stable maps and signatures of 4-manifolds (2006)
  • 著者名/発表者名: O.Saeki et al.
  • 雑誌名: Geometry & Topology (掲載予定)
• [雑誌論文] First order local invariants of apparent contours (2006)
  • 著者名/発表者名: T.Ohmoto et al.
  • 雑誌名: Topology 45巻1号 ページ: 27-45
• [雑誌論文] Equivariant Chern classes of singular algebraic varieties with group actions (2006)
  • 著者名/発表者名: T.Ohmoto
  • 雑誌名: Math.Proc.Cambridge Phil.Soc. 40巻1号 ページ: 115-134
• [雑誌論文] Lusternik-Schnirelmann category of Spin(9) (2006)
  • 著者名/発表者名: N.Iwase et al.
  • 雑誌名: Trans.Amer.Math.Soc. (掲載予定)
• [雑誌論文] Codimension one embeddings of product of three spheres (2005)
  • 著者名/発表者名: L.A.Lucas et al.
  • 雑誌名: Topology Appl. 146/147巻 ページ: 409-419
• [雑誌論文] Generic smooth maps with sphere fibers (2005)
  • 著者名/発表者名: O.Saeki et al.
  • 雑誌名: J.Math.Soc.Japan 57巻3号 ページ: 881-902
• [雑誌論文] Cobordisme des surfaces plongees dans S^4 (2005)
  • 著者名/発表者名: V.Blanloeil et al.
  • 雑誌名: Osaka J.Math. 42巻4号 ページ: 751-765
• [雑誌論文] Splitting off rational parts in homotopy types (2005)
  • 著者名/発表者名: N.Iwase et al.
  • 雑誌名: Topology Appl. 153巻1号 ページ: 133-140
• [雑誌論文] Lusternik-Schnirelmann categories of non-simply connected compact simple Lie groups (2005)
  • 著者名/発表者名: N.Iwase et al.
  • 雑誌名: Topology Appl. 150巻1-3号 ページ: 111-123