| 研究課題/領域番号 |
16340043
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
基礎解析学
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
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| 研究分担者 |
山田 義雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20111825)
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
石井 仁司 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70102887)
剣持 信幸 千葉大学, 教育学部, 教授 (00033887)
小澤 徹 北海道大学, 理学研究科, 教授 (70204196)
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| 研究期間 (年度) |
2004 – 2007
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| キーワード | 非線形発展方程式 / 非線形楕円型方程式 / 非線形偏微分方程式 / 変分法 / 劣微分作用素 |
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| 研究概要 |
(i)本研究によって開発された、「L^∞-エネルギー法」を、時間微分の非線形項を有する非線形放物型方程式に応用し、一意的時間局所解を構成した。従来の方法では、一意性を導くのが困難であったが、高い微分可能性を保証することで、これが可能になった。さらに、この手法は、走化性粘菌の行動を記述する非線形放物型方程式系やヒステレシス項を有する方程式系にも有効であることがわかり、従来の研究より大幅に弱い条件のもとで、解の存在、一意性が得られることが示された。
(ii)p-Laplacianを主要項に持つ準線形放物型方程式に対する初期値境界値問題に対して全ての解軌道を引き付ける無限次元の「大域アトラクター」が、L^2で構成された。無限次元の大域アトラクターを持つ例は、半線形放物型方程式では全く知られておらず、このような新奇な現象が発見されたことは、極めて重要である。一方で、主要項にp-LaplacianとLaplacianを含む、ある種の特殊な準線形放物型方程式に対して、あるクラスに属する初期値から出発する解軌道を、時間に関して指数的に引き寄せる、有限フラクタル次元を持つ「指数アトラクター」の存在が示された。これから特に、大域アトラクターが有限次元であることが導かれる。すなわちこれらの知見は、半線形放物型方程式とはことなり、準線形放物型方程式に対する大域アトラクターの有限次元性と無限次元性とを支配する何らかの構造が内包されていることを示唆しており、今後の極めて重要な研究課題を提示している。
(iii)時間に関する依存性をもつ劣微分作用素に支配される抽象放物型方程式のCauchy問題、周期問題に対して、劣微分作用素の近似列がMoscoの意味で方程式を支配する劣微分作用素に収束するとき、対応する近似解は、もとの方程式の解に強収束することが示された。周期問題に対しては、この問題は長く未解決問題として残されていた重要なものであり、これが肯定的に解決されたことは大変意義深い。
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