| 研究概要 |
研究代表者尾形庄悦は、射影的トーリック多様体の定義イデアルを研究した。射影多様体の定義イデアルがどの程度良い性質を持つかの指標として、性質(Np)がある。これは、イデアルの自由分解が次数pまで単純であることを示す。我々は、このpについて、アンプル直線束のテンソル積の回数と多様体の次元による最良の評価式を得た。
また、非特異トーリック曲面上のアンプル因子とnef因子の和である因子の完全線形系が元のふたつの因子の和として表せることの代数幾何的証明を与えた。証明の過程で使われた手法を用いて、3次元非特異トーリック多様体上のアンプル因子がある条件下で単生成的になることも示した。
研究分担者石田正典は、トーリック多様体の扇の理論から出発して、正則関数の実数ベキまでを許す代数幾何の世界が存在するのか否かを、実扇を例として解明を試みた。
特に、実扇も含めた扇の完備化が可能であることの証明がエバルト氏との共同研究により得られた。
また、石田弘隆により定義されたCCI曲面のモジュライ変数を、楕円曲線の不分岐3重被覆とヘッセの3次曲線族の観点から考察し、決定した。
研究分担者原伸生は、非特異曲面とその上の有効因子の組(X,D)に対して定まる対数的標準閾値の正標数における類似概念であるF純閾値fpt(X,D)について研究し、monsky氏によるp-fractalの方法を用いて、(X,D)が有限体上で定義される場合に、F純閾値fpt(X,D)が有理数であることを示し、さらに、これを組の判定イデアルのF跳躍指数の離散性と有理性に拡張した。
研究分担者梶原健は、トロピカル超曲面が定める多面体分割から得られる射影的トーリック多様体の退化を、Alexeev氏が導入した安定トーリック多様体に自然な対数構造を用いることで、特徴づけた。また、これまで知られていたトロピカル幾何学の定式化をトーリック多様体論の観点から、より代数幾何的に定式化し、トロピカル・トーリック多様体を定義した。ひとつの応用として、トロピカル非特異トーリック曲面上の交叉理論を完成させた。
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