| 研究概要 |
環Rの有限生成加群の有界導来圏D^b(modR)、上に有界な導来圏D^-(modR)、下に有界な導来圏D^+(modR)、非有界な導来圏D(modR)は、その鎖複体の性格から、従来の構成方法ではしばしば異なるアプローチが必要である。しかしその単純加群のつくる鎖複体からなる部分圏を考えるとき、アルティン環Rの場合は有界、非有界鎖複体の関係なく全く同じアプローチで良いことが解り、それがそれぞれのan additive T-set of classical generatorsというものになっていることを解明した。さらに、フロベニウス多元環上の加群の安定圏は三角圏になっていることが知られているが、その様相は上の導来圏のときとはかなり違っている。しかしこの場合も同様に単純加群からなる集合がan additive T-set of classical generatorsとなっており、このcategoryを解析する上で有用であることがわかった。この考えをそれぞれのGrothendieck群に応用したとき、全く同じアプローチで良いことを示していることが解った。従って,アルティン環Rの非同型単純加群の個数をnとしたとき、上に有界な導来圏のGrothendieck群K_0(D^-(modR))と下に有界な導来圏のGrothendieck群K_0(D^+(modR))は(Z{T,T^<-1>}/(1+T))^nと群同型、有界導来圏のGrothendieck群K_0(D^b(modR))は(Z[T,T^<-1>]/(1+T))^nと群同型であることが解った。その結果、D^-(modR)、D^+(modR)、D(modR)のいずれのGrothendieck群も自明であることを解明した。
その他の結果として,正標数の正規局所環Aのe回のフロベニウス射によって得られた加群^eAと、Aの標準加群K_Aのデターミナントの関係についてのある公式を導いた。この公式とHuneke-McDermott-Monskyの結果によって、Q-ゴーレンシュタイン環のヒルベルト・クンツ関数の第二項の消滅定理を示すことができた。
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