| 研究概要 |
アウスランダーは、非可換ネーター環Rの入射分解O->R->E^0(R)->E^1(R)->…のi番目に出てくる入射加群E^iの平坦次元がi以下というホモロジー代数的条件、所謂"アウスランダー条件"を導入し、可換ゴーレンシュタイン環のホモロジー代数的性質を非可換環に拡張した。研究代表者は、非可換ネーター環Rにおいて"任意の加群の平坦次元はその入射包絡の平坦次元以上である"という加群圏でのホモロジー代数的条件と、アウスランダー条件が同値になる事を示した。環Rの有限生成加群の導来圏D^b(modR)を考える上で、有限射影次元傾斜R加群Tが存在するときRと自己準同型環S=End_R(T)は導来同値になる事が知られているが、若松はTの入射分解i番目に出てくる入射加群E^i(T)に対して、S加群Hom_R(T, E^i(T))の平坦次元がi以下という"傾斜加群に対するアウスランダー条件"に拡張した。
これに対し、非可換連接環Rにおいて"T-分解0->T_n->…->T_1->T_0->M->0を持つ加群Mの入射分解O->M->E^0(M)->E^1(M)->…のi番目に出てくる入射加群E^i(M)に対して、S加群Hom_R(T, E^i(M))の平坦次元がi+n以下である"という加群の圏でのホモロジー代的条件と同値である事を示した。これにより、R加群の圏での上記のホモロジー代数条件とS加群の圏でのそれが同値である事がわかった。
その他の結果として、傾斜対象Tを持つアーベル圏Aの導来圏D^b(A)の自己三角同値群Out^Δ(D^b(A))のTに対する固定部分群がTの自己同型群になるとき、自己準同型環End(T)の自己三角同値群は導来ピカール群と等しい事を示し、傾斜対象Tを持つ射影代数多様体の場合に適用し、自己導来同値が全て傾斜鎖複体からなる有限次元多元環を検証した。
|
