| 研究概要 |
アルティン環R上の有限生成加群の有界導来圏のGrothendieck群K_0(D^b(modR))は、その非同型な既約加群の個数をランクとする自由アーベル群になる。しかしながら非有界導来圏D(modR)の場合、そのGrothendieck群がどのようになっているかは不明であった。そこで、我々は完全鎖複体の一般的概念である、三角圏でのcompact ob jectsや生成系の概念を用いて、anadditive T-set of classical generatorsという概念を導入し、アルティン環Rの非同型単純加群の個数を刀としたとき、上に有界な導来圏のGrothendieck群K_0(D^-(modR))と下に有界な導来圏のGrothendieck群K_0(D^+(modR))は(Z{T, T^<-1>}/(1+T))^nと群同型、有界導来圏のGrothendieck群K_0(D^b(modR))は(Z[T, T^<-1>]/(1+T))^nと群同型であることが解った。その結果、D^-(modR)、D^+(modR)、D(modR)のいずれのGrothendieck群も自明であることを解明した。非可換連接環Rにおいて傾斜加群Tがあるとき、"T-分解O->T_n->…->T_1->T_0->M->Oを持つ加群Mの極小入射分解0->M->E^0(M)->E^1(M)->…のi番目に出てくる入射加群E^i(M)に対して、End_R(T)加群Hom_R(T, E^i(M))の平坦次元がi+n以下である"という条件とアウスランダー条件と同値である事を示した。傾斜対象Tを持つ射影代数多様体を調べることによって、自己導来同値群と道来ピカール群と同型になる有限次元多元環を検証した。
正則局所環の剰余体の第二シジジー加群のリース多元環がGorensteinfactoria1であることを証明した。Chow群上にnumerical同値という同値関係が定義でき、ある条件のもとで割ったものが有理数体上の有限次元ベクトル空間になることを示した。また、正標数の正規局所環Aのe回のフロベニウス射によって得られた加群^eAと、Aの標準加群KAのデターミナントの関係についてのある公式を導いた。Q-ゴーレンシュタイン環と有限生成加群のヒルベルト・クンツ関数の第二項の消滅定理を示すことができた。
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