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三次元カラビ・ヤウ多様体の数え上げ幾何において、グロモフ-ウイッテン不変量は重要な研究課題である。本研究の動機は切断を有する三次元楕円カラビ・ヤウ多様体に対して、全ての種数に対するグロモフ・ウイッテン不変量を知りたいという点にある。このような特別なカラビ・ヤウ多様体は弦理論においてF理論と、また双対性を介して混成弦理論と関連していることが経験的に知られており、弦理論の双対性を理解する上でも興味深い対象である。本年度の研究では逆に弦理論の双対性を取り敢えず仮定して混成弦理論の側でそれに関わる数学として、楕円コホモロジー、ヤコビ形式、ボーチャーズ積等の概念を利用することにより、F理論側でそれに関わる数学としてのグロモフ・ウイッテン不変量を(ある極限のもとではあるが)具体的に予想し、これの詳細な検証をおこなった。これはコンパクトな三次元カラビ・ヤウ多様体に対しては僅かな例外を除いて全ての種数に対するグロモフ・ウイッテン不変量の予想を立てることすら困難であったことを考えると、進展であると思う。結果の詳細は現在論文として準備中である。しかしながら、この予想を完全に数学的にどう証明するかというのは今後の大きな課題である。
また以上の研究の過程において三次元カラビ・ヤウ多様体のグロモフ・ウイッテン不変量の計算を連接層の数え上げとして捉え直し、ボーチャーズ積との類似性を調べるという問題(これに関しては本研究者は以前より研究している)に関してさらなる手掛かりが得られたのではないかと思っている。この方向で研究を進めることも来年度以降の課題である。
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