| 研究概要 |
主にアフィントーリック多様体の定義イデアルであるトーリックイデアルおよびその一般化であるlatticeイデアルに関する研究をおこなった。
まず、二項式イデアルのlatticeイデアルによる分解を用いて、イデアルの生成系を求める方法を研究した。その分解は、一般の環のイデアルの準素分解の類似物であることを注意しておく。それによれば、二項式を整数環上の自由加群のベクトルに対応させ、考える二項式イデアルの生成系からえられるベクトルの組より新たな数量的不変量を定義する。その値がそれらによって生成されるベクトル空間の次元と、ベクトルの個数からなるある等式をみたすとき、ある条件のもとで二項式イデアルがlatticeイデアルになるかどうかを判定できることが証明された。これにより、latticeイデアルが完全交叉となるための必要十分条件をえ、また同様に概完全交叉となるための必要十分条件をえた。特に完全交叉の場合はFischer, Morris, Shapiroによる結果の言い換えになっている。さらにそのことによって、ある種のlatticeイデアルの変形によっても、完全交叉、概完全交叉の性質は保たれることがわかった。
さらに付随した結果として、二項式の根基イデアルがlatticeイデアルと等しくなる条件を与えていることになる。したがって、今後これを用いて、monomial曲線の定義イデアルとなるようなlatticeイデアルが集合論的完全交叉であることの証明されることが期待され、実際現在そこを研究している最中で、部分的な結果をえている。
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