| 研究概要 |
昨年に引き続き,主にアフィントーリック多様体の定義イデアルであるトーリックイデアルおよびその一般化であるlatticeイデアルに関する研究をおこなった。
本年最大の成果はlatticeイデアルがその高さマイナス1個の二項式と1つの多項式でup to radicalに生成されるための必要十分条件の発見である。この結果により,N次元アフィン空間内のアフィンモノミアル曲線の定義イデアルがN-2個の二項式と1個の多項式でup to radicalに生成されるための必要十分条件をZ-加群の言葉に翻訳することができた。このことを用いると,今まで集合論的完全交叉になるようなアフィンモノミアル曲線の例,たとえばHerzogらによる3次元アフィン空間内のもの,Bresinskyによる4次元Gorensteinモノミアル曲線の場合など,すべてはこの結果と最初にあげた必要十分条件で判定できることがわかった。さらに,具体的に数字の組が与えられたとき,それらの定義するモノミアル曲線の定義イデアルがそのような形のup to radicalな生成系を持つかどうかの判定法も作成し,それを用いて,17,19,25,27から定義されるモノミアル曲線はそのような形のup to radicalな生成系を持たないことを示した。しかしながら,この組合せから定義されるモノミアル曲線は集合論的完全交叉であることが証明できた。ここで,その定義イデアルのup to radicalな生成系は1個の二項式と2個の二項式でない多項式からなる。さらにこの一般化も着手しているが,その報告は来年度に譲ることにする。
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