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与えられた有限次の代数体上の楕円曲線の素数次数の同種写像の分類は、最初にMazurにより有理数体の場合が解決された。そこで、彼はある種の2次体の場合も扱っている。さらに、我々は、その結果を一般の代数体の場合に拡張した。勿論、全ても場合が解決された訳ではないが、それなりの結果を得ていた。これは、素数レベル付きのモジュラー曲線の代数点の分類問題となる。この方法は、QM型のアーベル面の属に対しても適応される。これらの属の荒いモジュライ空間である志村曲線の代数的な点の分類は、上で述べた方法はそのままは適応されない。それは、楕円曲線の場合には、モジュラー曲線の代数的な点に対し、その体の上で定義されるモデルが取れるが、志村曲線の場合には、それが一般には不可能絵あることによる。楕円曲線の場合には、良いモデルに付随する同種指標を用いて、代数点の分類が行われた。その方法を、志村曲線の場合に拡張するためにはどうすべきかが問題でした。
そこで、まず与えられた体の上の代数点に対するモデルを、この体の2拡大体上でとり、それに付随する同種写像と、この2次拡大に対応する移送写像の合成を考えることにした。すると、その指標の4乗は、モデルの選び方に依らないことがわかり、その12乗は最初の素数以外では、不分岐となる。すると、この指標を用いてある程度の分類が出来る。多くの部分は、楕円曲線の場合と同じであるが、上のモデルを考える時に、或特殊な選び方をする必要がある。また、志村曲線の還元の状況をキチンと考察することも大切でした。
結果として、楕円曲線の場合とほぼ同様な分類が出来ました。
また、一般化して、同様な2次型の志村多様体の場合も考察したが、予定していた程の結果は得られませんでした。まだ、もう少しアイデアが必要なようです。
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