| 研究概要 |
Big Cohen-Macaulay加群の構成とその応用:1970年前後,H.BassやM.Auslander等によって問われたネータ局所環上有限生成加群に関する諸予想は,「ホモロジー予想」とも呼ばれ,可換代数学における基本的重要問題として今日まで多くの研究がなされてきた.1973年C.Peskine-L.Szpiroは,「予想」がネータ局所環上有限生成自由加群の複体の交叉予想から導かれることを示し,標数正の体を含む場合の上記諸予想を解決した.その直後,M.Hocsterは,ネータ局所環のパラメーター系が正則列である,いわゆる「Big Cohen-Macaulay加群」の存在が単項予想,直和因子予想や新交叉予想を導き,それら予想がPeskine-Szpiroの交叉予想を導くことを示した.そして,体を含むネータ局所環上にBig Cohen-Macaulay加群を構成し,等標数ネータ局所環では上記予想がすべて成立することを示した.
M.HochsterはFrobenius写像の技法を巧妙に用い,正標数pの体を含むネータ局所環上のBig Cohen-Macaulay加群の存在を示した.標数0の体を含むネータ局所環についても,M.Artinによる近似定理を用い,正標数の場合に還元することによりその存在を示し,等標数ネータ局所環上にはBig Cohen-Macaulay加群が存在することを証明した.それ以来,多くの可換環論研究者が不等標数ネータ局所環上にBig Cohen-Macaulay加群を構成しようと努力したが,成功しなかった.
我々は,先ずHocsterによる退化modificationの明示表現を完備不等標数ネータ局所環上で具体的に書き下し.次に,完備不等標数ネータ局所環の元の十分大きなpベキ乗根をとり,Witt表現を考えた.更に,Jacobian判定法を用い,不等標数不分岐完備正則局所環のpを含む開集合上エタールな場合に帰着した.
目下,定義式,Frobenius写像,amiable system of parametersの基本性質等を考察し,不等標数ネータ局所環上にもBig Cohen-Macaulay加群が構成できることを示しつつある.
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