| 研究分担者 |
坪井 俊 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40114566)
久我 健一 千葉大学, 理学部, 教授 (30186374)
日野 義之 千葉大学, 理学部, 教授 (70004405)
高木 亮一 千葉大学, 理学部, 教授 (00015562)
杉山 健一 千葉大学, 理学部, 助教授 (90206441)
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| 研究概要 |
本研究では積分不可能平面場をトポロジーの観点から考察し,従来の研究とは違う切り口から,その大域的挙動を解明していくことを目指した.まず,エンゲル構造に接する閉曲線の剛性を考察した.その準備として,始点を固定した特性曲線が与えられたとき,その終点を通り特性曲線に横断的な3次元円板を考え,特性曲線を始点を固定したままエンゲル構造に接する曲線の範囲で摂動したとき,終点が円板上を動いてできる軌跡がどのような形になるのかを決定した.特に「特性曲線には自然に射影構造が入るが,その展開像が射影直線へ全射で移るとき,かつそのときに限り,その軌跡は摂動前の終点の近傍を形成する.」この結果を適用することにより,特性閉曲線の剛性に関して次の結果を得た.「非アフィン特性閉曲線は剛的でない.」アフィン特性閉曲線の剛性については今後の課題である.また,円周のすべての1次元射影構造は或るエンゲル多様体の閉特性葉の標準射影構造として実現可能であることを示した.次に,高位接触多様体における剛性を考察した.即ち標準分布およびその誘導分布に対してシンボル分布の葉が局所剛的であることを示した.力学系理論との関連では,葉層(すなわち積分可能平面場)に対して定義されたGhys-Langevin-Walczakの幾何学的エントロピーの,積分不可能平面場への一般化を考察し,幾何量が有界な積分曲線に着目することによって意味のある定義が可能になることを見出した.その応用として,エンゲル構造の場合,そのすべての特性葉の展開写像がモデル射影直線へ充分全射であるときはそのエンゲル構造のエントロピーは零であることが証明できた.得られた結果の大部分は「On rigidity of submanifolds tangent to nonintegrable distributions」というタイトルで,国際会議の会議録(レフェリー付き)に所収され,今春出版された.
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