| 研究課題/領域番号 |
16540064
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| 研究機関 | 静岡大学 |
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研究代表者 |
小山 晃 静岡大学, 創造科学技術大学院, 教授 (40116158)
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| 研究分担者 |
菅原 邦雄 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (20093255)
宇野 勝博 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (70176717)
矢ヶ崎 達彦 京都工芸繊維大学, 工芸学部, 助教授 (40191077)
服部 泰直 島根大学, 総合理工学部, 教授 (20144553)
横井 勝弥 島根大学, 総合理工学部, 助教授 (90240184)
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| キーワード | 幾何学的トポロジー / コホモロジー次元論 / 埋め込み / 対称積 |
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| 研究概要 |
位相空間Xのn次対称積をSP^n(X)と表す。一般的に、「どんなn次元コンパクト距離空間がある1次元連続体Xのn次対称積SP^n(X)にも埋め込むことができるか、あるいはできないか」を考察して次の結果を得た。
定理1:n次元球面S^nはどんな1次元連続体Xのn次対称積SP^n(X)にも埋め込むことができない。
このために、本質的に、1次元球面(=円周S^1)のk個のウェッジVS^1のn次元コホモロジー群を決定することが必要である。実際、ウェッジVS^1の対称SP^n(VS^1)が円周S^1の対称積SP^n(S^1)のk個の直積空間に埋め込むことができ,その像が直積空間のレトラクトであることを示した。したがって、次のことが計算できた。
定理2:H^n(SP^n(VS^1))=H^n(n次元トーラス)の直和、ただし、直和はk個の円周からn個の円周を選ぶすべての選び方を動く。
定理2からDydak-小(Bull.Polish Academy of Sciences,2000,vo1.48,51-56)を適用すると、定理1が得られる。
一方、位相空間Xの高々n個の元からなる空でない部分集合全体からなる集合にハウスドルフ距離を導入して得られる距離空間Fn(X)もまたXのn次対称積とよぶ。F2(X)=SP^n(X)であるが、n>2ならば一般には異なる空間である。しかし、類似性を感じさせる空間なので、同様に問題「どんなn次元コンパクト距離空間がある1次元連続体Xのn次対称積Fn(X)にも埋め込むことができるか、あるいはできないか」が提起される。この問題に関連した古典的な結果として、Bott(-Borsuk)の定理「F3(S^1)=S^3」がある。我々はこの定理に対して現代的なアプローチを導入して別証明を与えるとともに
定理3:n>1ならばF_2n(S^1)はS^<2n-1>のホモトピー型をもつ。を示した。これにより提起された問題の否定的な解、すなわち定理1の類似を得る端緒を得た。
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