| 研究課題/領域番号 |
16540070
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
阿賀岡 芳夫 広島大学, 大学院理学研究科, 教授 (50192894)
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| 研究分担者 |
宇佐美 広介 広島大学, 大学院理学研究科, 助教授 (90192509)
中山 裕道 広島大学, 大学院理学研究科, 助教授 (30227970)
今野 均 広島大学, 大学院理学研究科, 助教授 (00291477)
兼田 英二 大阪外国語大学, 外国語学部, 教授 (90116137)
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| キーワード | 等長埋め込み / エルミート対称空間 / 標準等長埋め込み / 剛性 / ガウス方程式 / 第二基本形式 |
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| 研究概要 |
最終年度にあたる今年度は、エルミート対称空間の一つであるSp(n)/U(n)の標準等長埋め込みの剛性について研究を行った。
エルミート対称空間Sp(n)/U(n)はn^2+n次元の空間であり、正則等長変換群Sp(n)のり一環へ大域的に等長に埋め込めることが知られている。つまり2n^2+n次元ユークリッド空間に等長に埋め込める。また、研究分担者である兼田英二氏との以前の共同研究により、この埋め込みが局所的にみてもSp(n)/U(n)の最小次元の等長埋め込みであることが示されている。今回はこの標準等長埋め込みに剛性、つまり実質的な埋め込みの一意性があるかどうかについて研究を行った。n=1のときはこの空間は2次元球面S^2と等長であり、R^3への等長埋め込みは大域的な剛性はあるものの、局所的には変形可能であることが知られている。しかし今回の研究により、nが2以上の場合には、局所的にも剛性のあることが示せた。正確な主張は次のようにまとめられる:
一定理(阿賀岡一兼田).UをSp(n)/U(n)の空でない連結な開リーマン部分多様体とする。fをUから2n*2+n次元ユークリッド空間への等長埋め込みとすると、ユークリッド空間のある等長変換aが存在してf=af_0となる。ここにf_0はSp(n)/U(n)の標準等長埋め込み。
この結果は、以前P^2(Cay),P^2(H),Sp(n)のときに剛性を示したときと同様に、ガウス方程式の実質的な解の一意性を示すことにより証明される。Sp(n)/U(n)はエルミート対称空間であるため、標準埋め込みの第二基本形式はエルミート性をもっているが、ガウス方程式の解はすべてエルミート性を有することを示すことにより解の実質的な一意性が証明できた。同じエルミート対称空間である複素射影空間P^n(C)はこのような性質をもっておらず、その意味でこの証明方法自体面白い結果であるといえる。
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