| 研究概要 |
双曲3次元多様体に対する例外的デーン手術の典型例は,本質的トーラスを生成するトロイダル手術である。今年度は3つのテーマで実績をあげた。
1.3次元球面内の双曲結び目に対して,8の字結び目を除けば,トロイダル手術に対応したスロープ間の距離は高々5であることが知られていた。これまでの結果によって,距離5を実現する結び目は,Eudave-Munozによって構成された結び目であることがわかっていたが,今年度の研究により,Eudave-Munozの結び目のうちのいずれであるかを決定することに成功した。これにより,Eudave-Munozの結び目は高々3つしかトロイダル手術を許容しないことを得た。この結果は論文にまとめ,すでに受理されている。
2.双曲3次元多様体に対して,トロイダル手術に対応したスロープの距離は高々8であることが知られており,6以上の値を実現する多様体は4つしかないことが決定されている。今年度は,距離5を実現する多様体の決定を目標としたが,そこまではいたらず,多様体の境界条件を得るにとどまった。距離5を実現する多様体の境界は,1つあるいは2つのトーラスからなることを示した。これにより,ラージとよばれるクラスの双曲多様体のうちの多くが,距離5を実現できないことを得た。この結果は論文にまとめ,国際学術雑誌に投稿中である。
3.双曲3次元多様体に対して,本質的トーラス及び本質的アニュラスを生成する例外的デーン手術に対応したスロープの距離と多様体の境界条件に関して研究を行った。距離は高々5であること及び4以上の距離を実現できる多様体の境界はトーラス2つからなることが知られていたが,本研究において,距離3を実現する場合,多様体の境界は高々3つのトーラスからなることを証明した。この結果は論文にまとめ,国際学術雑誌に投稿中である。
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