| 研究概要 |
同変安定ホモトピー論は,安定ホモトピー論のこれまで結果と同様,全く明らかではない結果とそれに関する予想が多い.10/8-不等式もそのような予想と関連しており,決して易しい問題ではないと思われるが,古田幹雄氏,南範彦氏,松江広文氏との研究により,10/8-不等式と安定ホモトピーSeiberg-Witten不変量に関して多少の進展が既にあった.その一つが,族の同変安定ホモトピー論への貢献である.これにより,1次元ベッチ数がある条件をみたしているスピン4次元閉多様体に対しては,11/8-予想を乗り越えて強い不等式が得られていた.
本研究の目標の一つは,その拡張として一般に1次元ベッチ数がある場合に10/8-不等式を1次元コホモロジー群の4つの元による積の構造まで込めて改良することであった.そのためにトーラスに対してある種のK-群を計算することが不可欠であることがわかっていたが,古田幹雄氏との共同研究により,その計算が得られ,更にその結果を使って10/8-不等式が以下に述べるように改良された.1次元ベッチ数が正の場合には2次元ベッチ数は-(符号数)/8の他にも1次元コホモロジー群上のカップ積とAlbanse写像から決まるKO-群の間の写像を使ってきまるある量の和によって下から抑えることがわかった.
この量を実際に計算できる例として,4次元トーラスおよびその連結和があるが,そのようなものが1次元コホモロジーの部分加群として4つの元によるカップ積の値を保ちつつ埋め込まれている場合には,丁度連結和の個数の半分と-(符号数)/8によって2次元ベッチ数が下から抑えられることがわかった.
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