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4次元空間内の曲面を平面上のグラフを用いて表す手法(chart)が知られている。このグラフの辺には整数のラベルが付けられており、頂点は次数が1か4か6である。3重点は次数が6のwhite vertexと呼ばれる頂点に丁度対応している。以前5つや7つのwhite vertexをもつminimal chartが存在しないことを示した。white vertexの数は有限だが、次数が4の頂点(crossingと呼ばれる)など他の頂点が無数にあるので、グラフの種類としては無限通りある。辺にラベルが付いているがその種類も一般のものを考えなくてはいけない。この研究を通して、一般のchartを調べる手法が数多く開発された。特に「half lensと呼ばれる円板の中にはwhite vertexが3つ以上である」という性質はとても強力なものであった。
今回の研究では、これらの手法も使いながら、white vertexはいくらあってもいいが、crossingが高々1つもつchartの性質について調べた。以前のminimal chartの定義はwhite vertexの数が少ないもの内free edgeが多いものと決めていた。それに更に2角形が多いものがminimal chartと決める。この2角形はhalf lensと呼んでいたものの特殊なものである。そうすると、以前示したminimal 4-chartでcrossingが高々1つもつchartはwhite vertexを持たないということが簡単に示すことが出来た。以前示したことが簡単になったので、一般のn-chartに拡張することが出来そうである。
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