|
鎌田氏によって、4次元空間に埋め込まれた曲面を研究するために、平面上のグラフで表現する手法、chartが定義された。n-chartは平面上の向きが付いた、各辺に1からn-1までのどれかのラベルが付けられたグラフで、ある条件を満たすものである。頂点は次数1と4と6の3種類あり、次数4の頂点をcrossingという。chartにはC-moveという変形があり、このchartに対応する曲面のambient isotopy classを変えない。次数6の頂点を持たないchartに変形できるchartをribbon chartという。鎌田氏によって、どの3-chartもribbon chartであることが示された。永瀬氏と広田氏によって、crossingが高々1つである4-chartはribbon chartであることが示された。永瀬氏と志摩によって、crossingが高々2つである4-chartに対して、その対応する曲面が球面ならばそのchartはribbon chartであることが示された。
今までの結果はラベルが1から3までしか考えていなかったが、今回の結果はラベルについて条件がなく
『crossinを高々1つもつどんなchartもribbon chartである』
ことが示せた。
これを示すために、minimalの概念を拡張したgeneralized minimalを定義した。今までminimalの定義はC-move equivalentなchartの内、次数6の頂点が一番少ないものでfree edgeが一番多いchartであった。ここでfree edgeとは次数1の頂点を2つもつedgeのことである。generalized minimalは更に"2角形(bigon)"が一番多いものを考えることである。これを使うと3-chartがribbon chartであることが簡単に証明することも出来る。証明の概要は簡単には述べられないが4-chartと同じような議論が成り立つ場所を見つけた。
|
