| 研究概要 |
円板上のグラフで、向きとラベルがついたchartと呼ばれるものについて研究しました。このchartは4次元球体に埋め込まれた曲面で、surface braidと呼ばれるものに対応しています。chartには次数6の頂点が含まれて、white vertexと言います。chart Γが型(m;n_1,n_2,【triple bond】,n_s)であるとは次の条件を満たすときをいいます:(1)各i=1,2,【triple bond】,sに対して,chart Γはin Γ_<m+i-1>∩ Γ_<m+i>内に丁度n_i個のwhite verticesを含む.(2)i<0 oかi>sならば,w(Γ_<m+i>)=0である.(3)w(Γ_m)>0とw(Γ_<m+s>)>0を満たす.ここで、Γ_iはchart Γのラベルiのedgeとvertexからなる部分グラフとする。w(Γ_i)はΓ_iに含まれるwhite vertexの数とする。今回は次の定理を示した。
『Γを型(m;n_1,n_2,【triple bond】,n_s)のchartとする.もしあるk(1<k<s)が存在してn_k=0を満たすならば,2つのchart Γ^*とΓ^<**>が存在して次を満たす:(1)Γ^*とΓ^<**>は円板D_1とD_2内に含まれ、D_1∩D_2=Φである.(2)Γ^*∪Γ^<**>とΓはC-move equivalentである.(3)Γ^*は型(m;n_1,n_2,【triple bond】,n_<k-1>)である.(4)Γ^<**>は型(m+k;n_<k+1>,n_<k+2>,【triple bond】,n_s)である。』
以前からchartのwhite vertexの数が少ないものがどのようなものか調べていた。丁度3、5、7個のwhite verteをもつchartはC-moveの変形でwhite vertexの数が減らせることを示した。この定理を示すことによって、white vertexの数が丁度9個のchartの型に次のような制限があることも分かった:
『Γを型(m;n_1,n_2,【triple bond】,n_s)のminimal chartとする.もしΓが丁度9個のwhite vertexを含むならば、すべのi=1,2,【triple bond】,sに対してn_i>0である』
丁度9個のwhite vertexを含むchartを調べる上でも有効な定理である。
|
