| 研究概要 |
CR構造に対するシュワルツ理論の構成は,基本方程式の決定と解空間の幾何構造の存在,およびCR変換の再構成から成るものである.今年度の研究は,おもにCR多様体の実次元が3の場合にシュワルツ理論の検証を行い,次の成果を得た.
(1)固定された接触構造に適合するハイゼンベルグ束に対して,CR構造の変形パラメーターを多様体上の複素数値関数-表現し,レヴィ形式,田中-ウェブスター接続等をそのパラメーターで記述した,
(2)多様体上の1階の微分作用素を,その共役作用素の核がCR関数となるように定めたとき,基本方程式はこの微分作用素に関する2階の線型方程式と共役作用素の1階微分との組み合わせであることを確かめこれら方程式の性質を精査した,
(3)それらの方程式に対して解空間よりCR変換が再構成可能かを解空間の幾何構造から検討した.
一般にCR基本方程式は共形類に対して定まるものであるから,方程式の正規化を与える関数を得るための可積分条件を検討する必要があるが,(2)で得られたいくつかの方程式はすでに正規化条件を満たしていることが確かめられた.
上記の方法とは別に,最も一般的な形の基本方程式に対して,その解空間が複素構造をもちさらに基底によらない自然なエルミート内積をもつかどうかについて検討した.該当する内積構造を持ちうる場合を調べた結果,実は上記の方法で得られた方程式とほぼ同種の方程式の族がいくつか見つかった.これはこの方法による問題の解決の可能性を示唆するものと考えられる.次年度は特にこの点を中心に研究の最終的な詰めを行う予定である.
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