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量子不変量の情報から有限型不変量がどれくらい記述されるかという問題に対しては、いくつかの一般的なアプローチが知られている。本研究の主目的は、有限型不変量の量子不変量による特徴づけを、代数絡み目と呼ばれる特別な絡み目の族に対して遂行することにある。
研究代表者のこれまでの研究で、代数絡み目の一種、2橋絡み目について、HOMFLY多項式及びJones多項式と呼ばれる2つの代表的な量子不変量を明示的に表示する公式を与えているが、その他の量子不変量での挙動を観察するため、今年度は特に、Kauffman多項式を明示的に表示する方法を調査してきた。これまでに、Lickorishの行列表示公式を精査することにより、Kauffman多項式をchebyshev多項式によって表現する方法が明らかになりつつある。chebyshev多項式は整数論や応用数学の分野とも深く関わっており、他分野との新しい関連付けの発見が期待される。今後、これらの公式を、プレッツェル絡み目、Montesinous絡み目、そして一般の代数絡み目のクラスへと拡張し、さらに、その他の量子不変量に対する同種の公式についても調査していく。これらの準備をふまえて、代数絡み目の有限型不変量がなす空間の基底を明らかにしていく予定である。
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