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量子不変量の情報から有限型不変量がどれくらい記述されるかという問題に対しては、いくつかの一般的なアプローチが知られている。本研究の主目的は、有限型不変量の量子不変量による特徴づけを、代数絡み目と呼ばれる特別な絡み目の族に対して遂行することにある。
研究代表者はこれまでの研究で、代数絡み目の一種、2橋絡み目について、HOMFLY多項式及びJones多項式と呼ばれる2つの代表的な量子不変量を明示的に表示する公式を与えている。他の量子不変量の挙動と比較するため、2橋絡み目のKauffman多項式について引き続き調査した結果、Kauffman多項式およびその1変数特殊化であるQ多項式を、Chebyshev多項式を用いて表示する方法を明らかにすることができた。これらの結果については、国際学会を含む3つの研究集会で報告済みであり、その概要は久留米工業高等専門学校紀要で公表している。
Chebyshev多項式は整数論や組合せ論、さらには応用数学など数学のあらゆる分野と深く関わっており、今後の研究で他分野との新たな関連が見つかる可能性も期待される。また、これらの公式を、プレッツェル絡み目、Montesinous絡み目、そして一般の代数絡み目のクラスへと拡張し、さらに、その他の量子不変量に対する同種の公式についても調査していく。これらの準備をふまえて、代数絡み目の有限型不変量がなす空間の基底を明らかにしていく予定である。
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