| 研究概要 |
Pを実数空間の部分空間としての無理数空間とする.P上の実数値連続関数全体の集合にコンパクト開位相を入れたものをC_k(P)と表すこととする.本研究の最大の目的はC_k(P)が、「M_3空間はM_1であるか」という問題の反例になるかどうかを調べることである。すなわち、C_k(P)にσ-閉包保存なbaseが存在するかどうかという問題である。C_k(P)がM_3であること、すなわち、σ-閉包保存なquasi-baseの存在は証明されているが、いまだにきちんと計算されていなかった。本年度は,その点に着目し,次の成果を得た.いずれの結果も、もし求めるbaseが存在するとするとそれはかなり複雑になることを示唆している。G.Gruenhageとの共著論文では、Xがσ-compact Polishであるとき、C_k(X)にσ-閉包保存なbaseを作ったが、そこでの複雑さをさらに上回る必要があると考えられる。
成果1.C_k(P)のσ-閉包保存なquasi-baseをきちんと計算するには、C_k(P)のσ-space性と、単調正規(monotonically normal)性をきちんととらえる必要がある。GartsideとReznichenkoの論文を詳細に分析することによって、その2つを厳密に計算した。これを用いてσ-閉包保存なbaseの構成をめざしたが、目標到達には至っていない。『この方法を用いてquai-baseを構成すると、それはかなり複雑になることがわかった
成果2.C_k(P)にもし、σ-閉包保存なbaseがもし存在した場合には、それはどんな形でなければならないか、どんな形であってはならないかを調べた。特に、そのようなbaseが存在した場合には、そのbaseがかなり複雑な形になることを示した。
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