| 研究概要 |
安定でない理論のgeneric自己同型写像のクラスが一階のクラスにならないという予想に対して進展があった。安定でない理論の例を作る方法としてgeneric述語と呼ばれる関係を新たに導入する方法があるが,自己同型写像に関する自由融合性をもつ理論をもとにこの拡張を行っても,自己同型写像に関する自由融合性は保存されることが証明できた。研究代表者がすでに得ている結果を使うと,この構成法を繰返して得られる不安定理論のgeneric自己同型写像のクラスは一階のクラスにならないことがわかる。
無限個の有限構造をうまく貼り合わせて構成されるgeneric構造というものがあり,様々なモデル理論的性質をもつ構造の構成に利用されている。ZilberとPeatfieldは代数幾何や複素幾何に登場する構造の位相と次元の性質を抽象化してanalytic Zariski structureという構造を定義し,generic構成法で得られる典型的な例の1つがこの構造になることを示した。そのときに,考えている有限構造のクラスに対するgeneric構造を簡単な公理の可算飽和モデルとして特徴付けをした。generic構造をもつ有限構造のクラスに対していつでもこのような特徴付けができる訳ではないが,局所次元を利用して定義される素直なクラスに対しては同様の特徴付けができることがわかった。これらのクラスのgeneric構造がanalytic Zariski structureになっているのか,あるいは,自己同型写像がどうなっているのかは今後の課題である。
一方,可除加群である種の自己同型を考えた構造の理論は比較的簡単な理論をもち,量化記号の消去ができることがわかった。これはquasi-minimal structureに関連する結果であるが,generic自己同型と関係がありそうである。
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