| 研究概要 |
非圧縮粘性流体の運動は,Navier-Stokes方程式の解析により理解される.本研究の目的は,この方程式の解の安定性を2種類の重要な非有界領域,すなわちaperture領域と回転物体の外部領域において考察することである.まず,aperture領域とは上下半空間が通路(aperture)により連結された領域のことである.この領域は,線型化されたStokes方程式に対してすら,通常の附帯条件だけのもとでは解が無数にあることが指摘されて以来,注目されている.本研究では,付加境界条件として通路での流量を指定したときの初期値問題の時間大域解の一意存在を小さいデータに対して示し,またその解のt→∞での詳細な漸近挙動も求めた.次に,外部領域での問題について,物体が静止している場合および並進運動している場合はよく調べられていたが,回転運動している場合は問題が山積していた.特徴的なことは,回転座標系で書き直すと非有界係数をもつ移流項が現れる点である.本研究により方程式の数学的構造が明らかにされ,最も数学的にハードな部分が解決されて,最終的に理想的な形での定理が得られた.約言すれば,線型主要部分の生成する半群のt→∞での減衰評価および回転角速度が小さい場合の定常解の|x|→∞での減衰度を明らかにして,この定常解の漸近安定性を証明した.さらに,擾乱のL_qノルムによる減衰の速さも求めた.半群の減衰は,L_p-L_q評価として表現される.一方,定常解の空間無限遠での減衰は,Lorentz空間の内でも特に弱-L_q空間によって表現される.
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