高階パンルベ方程式の完全WKB解析

2005 年度 研究成果報告書概要

• 研究課題/領域番号: 16540148
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 基礎解析学
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 竹井 義次 京都大学, 数理解析研究所, 助教授 (00212019)
• 研究分担者: 小池 達也 京都大学, 大学院・理学研究所, 助手 (80324599)
• 研究期間 (年度): 2004 – 2005
• キーワード: 高階パンルベ方程式 / 完全WKB解析 / 野海・山田方程式系 / Stokes幾何 / 仮想的変わり点 / インスタントン型形式解 / Birkhoff標準形 / 構造定理

研究概要

高階パンルベ方程式に対する完全WKB解析を確立することを目的に、
1.高階パンルベ方程式とそれに付随するLax pairのStokes幾何の解析、
2.高階パンルベ方程式に対する自由パラメータを含んだ形式解の構成、
3.(単純)変わり点における構造定理の確立、
という3つの課題に取り組み、それぞれ次の成果が得られた。
まず1.のStokes幾何の解析に関しては、Lax pairの構造が最も簡明なI型の高階パンルベ方程式の階層に対して、Stokes図形の完全な記述が得られた。他方、大学院生の佐々木俊介君が指摘したように、Lax pairのサイズが大きい野海・山田方程式系の場合にはLax pairの仮想的変わり点等も非線型方程式のStokes図形の決定に関与してくる。この問題については、本多尚文(北大理)氏を中心として始まった共同研究により、「tree構造」といったグラフ理論的な言葉を用いてこうしたLax pairの仮想的変わり点やnew Stokes curveが果たす役割を表現できることがほぼ明らかになった。
次に2.については、2階の場合に用いたHamilton系のBirkhoff標準形への変換を利用する方法を高階方程式にまで拡張することにより、インスタントン型形式解を構成することに成功した。これにより、I型方程式の階層のようにHamilton系としての表現が知られている高階パンルベ方程式に対して、自由パラメータを含んだ特異摂動型の形式解が得られた。
最後に3.の構造定理に関しては、付随するLax pairのサイズが2の揚合に得られていた第1種の単純変わり点における自由パラメータを含まない形式解に対する構造定理を、Lax pairのサイズが大きい野海・山田方程式系にまで拡張した。
今後は、高階パンルベ方程式の接続問題を具体的に解くために、自由パラメータを含む形式解に対する構造定理の確立、特に第2種の変わり点における解析が重要な課題となるであろう。

研究成果

• [雑誌論文] Virtual turning points and bifurcation of Stokes curves for higher order ordinary differential equations (2005)
  • 著者名/発表者名: T.Aoki, T.Kawai, S.Sasaki, A.Shudo, Y.Takei
  • 雑誌名: Journal of Physics A : Mathematical and General 38巻 ページ: 3317-3336
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] On global aspects of exact WKB analysis of operators admitting infinitely many phases (2005)
  • 著者名/発表者名: T.Aoki, T.Kawai, T.Koike, Y.Takei
  • 雑誌名: Contemporary Mathematics 373巻 ページ: 11-47
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] Virtual turning points and bifurcation of Stokes curves for higher order ordinary differential equations (2005)
  • 著者名/発表者名: T.Aoki, T.Kawai, S.Sasaki, A.Shudo, Y.Takei
  • 雑誌名: Journal of Physics A : Mathematical and General Vol.38 ページ: 3317-3336
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] On global aspects of exact WKB analysis of operators admitting infinitely many phases (2005)
  • 著者名/発表者名: T.Aoki, T.Kawai, T.Koike, Y.Takei
  • 雑誌名: Contemporary Mathematics Vol.373 ページ: 11-47
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] Algebraic Analysis of Singular Perturbation Theory (2005)
  • 著者名/発表者名: T.Kawai, Y.Takei
  • 雑誌名: American Mathematical Society
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] On the exact WKB analysis of operators admitting infinitely many phases (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Aoki, T.Kawai, T.Koike, Y.Takei
  • 雑誌名: Advances in Mathematics 181巻 ページ: 165-189
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] The exact steepest descent method - a new steepest descent method based on the exact WKB analysis (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Aoki, T.Kawai, Y.Takei
  • 雑誌名: Advanced Studies in Pure Mathematics 42巻 ページ: 45-61
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] On WKB analysis of higher order Painleve equations with a large parameter (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Kawai, Y.Takei
  • 雑誌名: Proceedings of the Japan Academy, Series A 80巻 ページ: 53-56
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] Toward the exact WKB analysis for higher-order Painleve equations - The case of Noumi-Yamada systems (2004)
  • 著者名/発表者名: Y.Takei
  • 雑誌名: Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University 40巻 ページ: 709-730
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] On the complete description of the Stokes geometry for the first Painleve hierarchy (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Kawai, T.Koike, Y.Nishikawa, Y.Takei
  • 雑誌名: 数理解析研究所講究録 1397巻 ページ: 74-101
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] On the exact WKB analysis of microdifferential operators of WKB type (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Aoki, T.Kawai, T.Koike, Y.Takei
  • 雑誌名: Annales de l' Institut Fourier, Universite de Grenoble 54巻 ページ: 1393-1421
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] On the Stokes geometry of higher-order Painleve equations (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Kawai, T.Koike, Y.Nishikawa, Y.Takei
  • 雑誌名: Asterisque 297巻 ページ: 117-166
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] On the exact WKB analysis of operators admitting infinitely many phases (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Aoki, T.Kawai, T.Koike, Y.Takei
  • 雑誌名: Advances in Mathematics, Vol.181 ページ: 165-189
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] The exact steepest descent method -a new steepest descent method based on the exact WKB analysis (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Aoki, T.Kawai, Y.Takei
  • 雑誌名: Advanced Studies in Pure Mathematics Vol.42 ページ: 45-61
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] On WKB analysis of higher order Painleve equations with a large parameter (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Kawai, Y.Takei
  • 雑誌名: Proceedings of the Japan Academy, Series A Vol.80 ページ: 53-56
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] Toward the exact WKB analysis for higher-order Painleve equations -The case of Noumi-Yamada systems (2004)
  • 著者名/発表者名: Y.Takei
  • 雑誌名: Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University Vol.40 ページ: 709-730
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] On the complete description of the Stokes geometry for the first Painleve hierarchy (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Kawai, T.Koike, Y.Nishikawa, Y.Takei
  • 雑誌名: RIMS Koukyuuroku Vol.1397 ページ: 74-101
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] On the exact WKB analysis of microdifferential operators of WKB type (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Aoki, T.Kawai, T.Koike, Y.Takei
  • 雑誌名: Annales de l'Institut Fourier, Universite de Grenoble Vol.54 ページ: 1393-1421
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] On the Stokes geometry of higher-order Painleve equations (2004)
  • 著者名/発表者名: T.Kawai, T.Koike, Y.Nishikawa, Y.Takei
  • 雑誌名: Asterisque Vol.297 ページ: 117-166
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] WKB analysis of higher order Painleve equations with a large parameter
  • 著者名/発表者名: T.Kawai, Y.Takei
  • 雑誌名: Advances in Mathematics (印刷中)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] On a local reduction of a higher order Painleve equation and its underlying Lax pair near a simple turning point of the 1st kind
  • 著者名/発表者名: Y.Takei
  • 雑誌名: Seminaires et Congres (印刷中)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [雑誌論文] WKB analysis of higher order Painleve equations with a large parameter
  • 著者名/発表者名: T.Kawai, Y.Takei
  • 雑誌名: Advances in Mathematics (in press)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [雑誌論文] On a local reduction of a higher order Painleve equation and its underlying Lax pair near a simple turning point of the first kind
  • 著者名/発表者名: Y.Takei
  • 雑誌名: Seminaires et Congres (in press)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [図書] Algebraic Analysis of Singular Perturbation Theory (2005)
  • 著者名/発表者名: T.Kawai, Y.Takei
  • 総ページ数: 129
  • 出版者: American Mathematical Society
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より