| 研究課題/領域番号 |
16540149
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
畑 政義 京都大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (40156336)
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| 研究分担者 |
山内 正敏 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (30022651)
上田 哲生 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10127053)
永田 誠 京都大学, 数理解析研究所, 助手 (30293971)
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| キーワード | 超越数 / 代数的整数 / Pisot数 / Salem数 / 小数部分 / 有理近似 / 一様分布 / Mahler測度 |
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| 研究概要 |
一様分布論におけるmetricな諸定理では、ほとんどいたるところの性質が論じられる.例えば、ほとんどすべての実数a>1に対して、aのベキから成る数列の小数部分は一様分布する.しかし、その具体例を知ることは極めて難しい問題で、自然対数の底eや有理数3/2のベキの小数部分について何も知られていないのが現状である.一方で、一様分布しない場合、すなわち例外の場合に関する研究が行われている.ベキの小数部分に対して、2乗総和可能などの条件、つまり小数部分の小ささを仮定すると、驚くべきことに、aは特殊な代数的整数に限られることがPisotらによって示された.Salem数とともにPisot数は興味深い研究対象で、力学系への応用もあって、今でも活発に研究が行われている.特に重要な問題の1つに小数部分が0に収束することだけで、Pisot数であるといえるかどうかを問う、いわゆるSalemの問題がある.この問題の解決を目指して行ってきた研究の過程で、若干強い仮定のもとにPisot数に限ることが証明できた.これは、Acta Arithmeticaに掲載された.しかしながら、この方法でさらによい結果を得ることは恐らく無理であると思われる.新しい革新的なアイデアが必要であろう.
一方で、PisotやSalem数と関係する重要な問題に、Mahler測度の下からの評価、すなわちLehmer問題として知られる問題がある.現在得られている評価は、予想よりもかなり悪いが、Merayの行列式に対してHadamard不等式を用いて得られるもので、改良を試みたが、かなり難しい問題であった.引き続き、この研究を続けたい.
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