| 研究概要 |
本年度も引き続き、滑らかな多様体M上の微分同相写像の作る群の表現について考えた。このような写像のうち、supportがcompactであるものの全体をDiff_0(M)と記す。この群に関しては、いままでに様々な既約表現が構成されてきた。ただし、本研究では、これらと本質的に異なる(同値でない)無限次元表現、無限大のmassをもったM上の滑らかな測度μの無限制限直積を用いて構成したものが対象である。より正確に述べると以下のようになる;
E:={E_n}をMのBorel setの可算族で次の3つの性質をもつものとする(Eをμ-unita1という)。
(1)0<μ(E_n)<+∞(2) Σ|1-μ(E_n)|<+∞(3)E_nは互いに素。
このμ-unital Eを用いると、M^∞上に制限直積測度γEがまず構成できる。これはDiff_0(M)の対角的作用で準不変で、従ってDiff_0((M)の自然表現TがこのL^2space上にできる。つぎに、自然数上の有限個を置換する無限対称群の既約ユニタリ表現nをひとっとり、M^∞上の可測関数fで次の性質を持つものを考える。(1)f(xσ)=Π(σ)^<-1>f(x)(2)f(x)はD_E上2乗可積分、ただしD_EはσでD_Eを動かして得られた集合が互いに素で、その和集合がν_Eに関してfull measureとなるBorel集合である。このようなfの全体をH(Σ)として、ここへDiff_0(M)のが対角的作用するり上の自然表現U(Σ)を持ち込む(ただし、Σ=(E,Π))。すると、ユニタリ表現(T(g),H(Σ)),g∈Diff_0((M)ができる。この表現)T(g),H(Σ))が既約であることはすでにいままでの研究で明らかになっているが、本年度は上記の表現Tの既約分解が既に述べた(T(g),H(Σ))からなる、ということがわかった。
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