| 研究分担者 |
柳田 英二 東北大学, 大学院・理学研究科, 教授 (80174548)
藤井 一幸 横浜市立大学, 大学院・総合理学研究科, 教授 (00128084)
白石 高章 横浜市立大学, 大学院・総合理学研究科, 教授 (50143160)
水町 徹 九州大学, 大学院・数理学研究院, 助教授 (60315827)
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| 研究概要 |
2次元領域における鎬状パターンの相互作用を解析するために,今年度は無限に長い帯状領域を考え,その無限の両端で異なる定常状態をとる解を考察した.こうした状況に対して,扱う系が何らかの意味でエネルギーを有する場合は既にいくつかの結果が知られている.しかし生物モデルや化学反応系などではエネルギー,またはそれに類するものさえ存在しない場合が一般的であり,エネルギー構造を持たない系に対する解析手法を確立することは応用上重要な問題の一つである.そのための足がかりとして,今年度はチューリング不安定の近傍を考察し,分岐理論を用いて解の構成を試みた.ここでいうチューリング不安定性とは,安定定数平衡点をx-軸全体で考えたとき,拡散まで込めた線形固有値問題のフーリエ変換がある正のフーリエモードに対して実部正の固有値を持つ場合をいう.我々は更にその特殊な場合として,最大固有値が実軸に接する場合を考察することにした.これにより安定定数平衡点から分岐した平面解が2次元解として安定になり得ること,また符合の異なる2種類の平面解を構成できることなどを示すことが出来た.こうして構成した2つの異なる安定平面解を2次元帯状領域の無限の両端で満たすような解を,分岐理論を用いて構成することが出来た.現段階では近似解のレベルであるが,そうした複数の平面解を連結する解のダイナミクスを本質的に支配する方程式として,ある種の4階の放物型方程式を導出することが出来た.それは弾性体における座屈を記述した方程式と類似のものであり,平面解同士のつなぎ目部分に現れる特徴的な空間パターンの由来を理論的に説明できたことになる.また連結する平面解の安定性に強さの違いがある場合は,ある方向に一定速度で進行する,いわゆる進行波解が出現するが,帰着された4階の方程式の解析により,進行波解の進行速度がある種のポテンシャルエネルギーの差により決定されることが分かった.
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