| 研究分担者 |
柳田 英二 東北大学, 大学院理学研究科, 教授 (80174548)
藤井 一幸 横浜市立大学, 国際総合科学研究院, 教授 (00128084)
白石 高章 横浜市立大学, 国際総合科学研究院, 教授 (50143160)
水町 徹 九州大学, 大学院数理学研究科院, 助教授 (60315827)
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| 研究概要 |
まず,昨年に引き続き1次元空間における双安定反応拡散系のフロント解に関して,その相互作用によってもたらされる挙動を詳細に調べた.その結果,非線形項の対称性からのずれに応じて,脈動解や進行パルス解が現れることを示すとともに,その出現順序などを決定するための条件を求めた.これはフロント解を2次元的に並べることにより現れる,複雑な時空パターンの理解に役立つと期待される.特に螺旋パターンは,互いに逆方向に進む進行フロント解を2次元的に並べたときの挙動として再現できると期待されるため,1次元問題において進行パルス解や脈動解が出現するための条件を知ることは大変有益であると考えた.
次に,互いに逆方向に進む進行フロント解を有するいくつかのモデル方程式に対して,その1次元問題としての分岐構造を調べ,2種活性化・抑制因子系モデルと3種競合系の2つについて,それらが生成する螺旋パターンを理論及ぴ数値の両面から調べ,結果を比較することを行った.特に導出された界面方程式は,これまで粘性解理論で扱われてきたものとは本質的に異なるものであったため,数値シミュレーションプログラムのためのスキーム自身を新たに考察する必要が生じた.我々は等高線の方法を用いたプログラムを作ったが,そのスキームに関する理論的裏付けは全くなされていない.今後の大きな課題の一つと言える.そうした課題は残ったものの,数値シミュレーションで観察される界面の運動は理論的に予想される界面の運動を確かに再現しており,今後は界面方程式から螺旋パターンのコア部分のメアンダリングなどのさまざまな挙動を理論的に説明することを試みる予定である.
一方,帰着された界面方程式ともとの反応拡散モデルとの関係も数理的に示す必要がある.これに対しては,まず手合めとして,分岐点近傍を除いたパラメータ領域におけるフロント解の界面としての挙動が考察することとし,それらが平均曲率流で記述されることをある条件下で厳密に示すことができた.そこで用いられた手法はその他さまざまな問題,例えば境界上におけるパルスの運動の解析などにも応用できることが分かり,現在検証中である.
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