| 研究概要 |
戸田格子の量子化に関する研究を行った.可換偏微分作用素の研究はすでに数多くの研究がなされている.例えば2階のシュレディンガー作用素のポテンシャルに対称性を課してそれと可換な作用素の係数を高階のものから定めていくというものがある.このときポテンシャルは逆2乗関数、三角関数、楕円関数などが現われる.今回の研究では戸田格子のラックス行列の正準量子化を考えその特性多項式から定義される偏微分作用素の可換性の証明を行った.今回の可換性の証明と今までに得られている量子可積分系に関する作用素の証明との相違点はより解析的であるということである。佐藤超関数の発見に始まる代数解析学は偏微分方程式を代数学の俎上に載せより深遠で幅広い視野を与えた.今回の研究の目的は上記偏微分作用素の可換性を超局所解析的な視点から捉えようということである.量子化ラックス行列の特性多項式の係数により定義された偏微分作用素の可換性を証明するために相空間(R^{2n})上のフーリエ積分を考えた.このフーリエ積分は余接束上のフーリエ積分と考えられる.余接束上のフーリエ積分の空間を考えさらにその双対空間を考える.この双対の元は積分表示を持つ.さて戸田格子はn個の保存量を持つが,それらが一定という方程式で定義された解析的多様体を戸田格子の等位集合という.保存量の値を変えることにより2n次元ユークリッド空間は戸田格子の等位集合の族による葉層構造を持つ.双対元の積分表示において積分領域R^{2n}を保存量のデータのなす空間とその上の等位集合に分解する.上記の量子化ラックス行列の特性多項式より定義された偏微分作用素の族は等位集合上の積分を不変にすることが分かる(この積分を等位集合上へのラドン変換と名づけた).このことからこれら偏微分作用素の可換性を導いた.
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