| 研究課題/領域番号 |
16540208
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
大域解析学
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| 研究機関 | 四国大学 |
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研究代表者 |
竹内 博 四国大学, 経営情報学部, 教授 (20197271)
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| 研究分担者 |
酒井 隆 岡山理科大学, 理学部, 教授 (70005809)
勝田 篤 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (60183779)
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| 研究期間 (年度) |
2004 – 2007
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| キーワード | p-調和写像 / p-調和関数 / リーマン多様体 / グラフ |
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| 研究概要 |
リーマン多様体上のp-ラプラシアン△p(1<ρ<∞)は多様体上の関数uに対して定義される作用素であり、研究課題のp-調和関数は△pu=div(|▽u|^<p-2>▽u)=0として定義される。調和関数はp=2の場合に相当し、p-調和関数は調和関数の拡張概念と考えられる。実際p-調和関数は多様体上のp-エネルギーを汎関数と考えたときの変分問題の臨界点を表す方程式として自然に現れる。オイラーラグランジュの微分方程式が上記のp-調和関数を表す方程式となる。この方程式は非線形楕円型偏微分方程式となるので取り扱いはかなり面倒である。この作用素はグラフ上でも考えられる。報告者はグラフ上でのp-ラプラシアン△pを定義し、多様体の場合と同様にp-調和関数の概念を定義した。p-ラプラシアンのスペクトルを定義してCheeger型評価、Brooks型評価を得た。グラフ間の写像として、p-harmonic morphismを定義し、harmonic morphismとの相違に着目してその性質を調べた。グラフ間についてはp=2とp≠2では大きな相違は見られず、horizonntal conformal mapと同値になることが分かった。p=2の場合ではグラフ上のグリーン核に一致するようなp-Laplace方程式の解について評価を得た。
調和写像流、およびp-調和写像流は調和写像およびp-調和写像と密接に関係している。すなわち調和写像流の定常状態が調和写像になり、p-調和写像流の定常状態がp-調和写像になる。一般にはこの収束は保障されない、特に、途中で解が爆発する場合について、これまでのわかっていることを研究ノートとしてまとめ四国大学研究紀要として発表した。
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