| 研究概要 |
本年度はNoether環のイデアル全体のクラス及びイデアルの(個数の制限のない)和集合のクラスに対して,正例からの学習可能性について考察した.StephanとVentsovは論文「Learning Algebraic Structure from Text, Theoretical Computer Science 26(2001), 221-273」において,「可換環のイデアル全体のクラスが正例から学習可能〓可換環がNoether環」という定理を証明した.一方,正例からの学習可能性に対しては,Angluinが与えた必要十分条件(EC1と呼ばれている)以外に,十分条件として,「有限の厚さ」(C4),「有限の弾力性」(C3),「特徴例集合の存在」(C2)が知られている.これらの条件の関係は
C4〓C3〓C2〓EC1
であり,各矢印に対しその逆は成立しないことも知られている.
本課題でまず考察を行ったことは
1.Noether環のイデアルの有限基底の存在は「特徴例集合の存在」に他ならないということ
2.Noether環のイデアルに関するAscending Chain Conditionは「有限の弾力性」が成立することに他ならないということ,
である.Noether環においてはイデアルの有限基底の存在とAscending Chain Conditionは同値である.従って,Stephan-Ventsovの結果と合わせると,Noether環のイデアル全体のクラスでは「有限の弾力性」と「Angluinの条件」は同値となることが分かった.さらに,イデアルの和集合のクラスに対しても考察を行った.和の個数が一定の数以下であるときは,Wrightの定理を用いて,正例から学習可能であることが分かっていた.本研究では,個数に制限が無い場合について,有理数を係数とするn変数多項式環を例にとって考察を行った.その結果,
個数に制限をつけないイデアルの和集合のクラスが正例から学習可能〓n=1という結果を得た.
その後,Noether環の有限基底という概念を「代数的閉包演算とそれによって定義される閉集合のなかで有限生成なもの」と一般化した対象に関して考察を進めている.
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