| 研究概要 |
3重結節点のみからなるグラフ的な構造を持つ界面に対し,各弧が平均曲率流に従い,3重結節点ではヤングの法則を満たし,境界とは直交するように接している場合について,界面がどのようなダイナミクスに従うかについて研究を行った.特に,考える領域の境界の幾何学的性質がダイナミクスとどう関わっているかについて考察した.本年度は特に,3重結節点が複数ある場合について,定常解の存在と安定性について調べ,以下のような成果を上げた.
まず,定常界面の安定性に関する理論的考察を行った.3重結節点が1個の場合について得られいるこれまでの結果を一般化し,複数個の3重結節点を持つ界面に対して帰納法を用いて特性関数の具体形を得た.この特性関数を解析することにより,特性関数の符号と境界の曲率の符号から不安定次元を与える公式を導き,その幾何学的な意味を明らかにした.
次に与えられた領域において,定常状態が存在するための条件について調べた.これは古典的なFermat-Steiner問題と関係する興味深い変分問題であるが,境界条件の違いから自由度の高い難しい問題となる.これまでの研究により,3重結節点が1個の場合については凸領域においては少なくとも1個の定常状態の存在することが示されているが,今年度はこれを拡張し,複数個の3重結節点を持つ界面に対して帰納法を用いて定常状態の存在を示した.また,存在を示す過程において,不安定次元が異なる定常状態が2個存在することが明らかになった.さらに,ヤングの法則においてある制約条件が必要となることを発見した.
|
