| 研究概要 |
3重結節点のみからなるグラフ的な構造を持つ界面に対し,各弧が平均曲率流に従い,3重結節点ではヤングの法則を満たし,境界とは直交するように接している場合について,界面がどのようなダイナミクスに従うかについて研究を進めた.特に,考える領域の境界の曲率がダイナミクスとどう関わっているかについて考察した.本年度は特に,3重結節点が複数ある場合について,定常解の存在条件と安定性の関係について研究をすすめ,以下のような成果を上げた.
まず,定常界面の安定性に関する理論的考察を行った.3重結節点が1個の場合について得られているこれまでの結果を帰納法を用いて一般化することによって,複数個の3重結節点を持つ界面に対する特性関数の具体形が得られていたが,ここではそれをさらに変形し,境界からの寄与と内部構造からの寄与の項に分解し,境界の曲率の符号が安定性に及ぼす影響を明らかにした.
次に,与えられた領域において,定常状態が存在するための条件と安定性との関わりについて調べた.これは古典的なFermat-Steiner問題と関係する興味深い変分問題であるが,境界条件の違いから自由度の高い難しい問題となる.これまでの研究により,凸領域において複数個の3重結節点を持つ界面に対して定常状態の存在が示されているが,ここでは非凸な領域に対する研究を進め,変曲点のところで界面が接すると退化した状態になることを明らかにした.
その他,ネットワーク上の反応拡散方程式の非定数定常解の存在とその安定性や,線形固有値問題の固有値分布,熱方程式の解のホットスポットについても研究を行い,その基本的な性質について明らかにした.
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