| 研究概要 |
頂点作用素代数と作用素環の局所共形ネットはともに,共形場理論を数学的に厳密に取り扱う手法であるので、両者に共通した構造が期待されるのは当然である.頂点作用素代数は,非有界作用素に値を持つ作用素値超関数(ワイトマン場)を直接代数的に公理化しているが,局所共形ネットの理論では,試験関数を適用して得られる(非有界)作用素たちから生成される,有界作用素のなすネットを考えることが違いである.
頂点作用素代数の理論では,もっとも有名で興味深い頂点作用素代数の例は,ムーンシャイン頂点作用素代数と呼ばれるものであり,その自己同型群が,位数最大の散在型有限単純群・モンスター群であり,その真空キャラクターがj関数である.これに対応する作用素環の局所共形ネットが当然存在すると期待されていたが,その構成と研究は行われていなかった.
この構成を作用素環論の枠組みで実行し,作用素環の意味での自己同型群(ゲージ群と呼ばれる)が確かにモンスター群であり,同様に定義される真空キヤラクターがj関数であることを証明した.頂点作用素代数としての自己同型は純代数的に定義されており,また,作用素環の局所共形ネットの自己同型は関数解析的に定義されているのでそれらが一致することはまったく明らかなことではない.
これには枠付き頂点作用素代数の作用素環論における対応物を用いる.また,これまでに私が研究してきた完全有理的な局所共形ネットと,局所共形ネットの表現論におけるアルファ・インダクションの理論を道具として用いる.
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