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随伴次数環G(I)(associated graded ring)のGorenstein性を判定する簡便かつ実際的な方法の開発が本研究の目的であるが、研究代表者の居相真一郎は明治大学理工学部の後藤四郎教授との共同研究によって、随伴次数環がGorensteinになるための必要かつ十分条件をreduction numberとイデアルの言葉のみで表すことに成功しました。この結果は(得体の知れないGorensteinという)代数構造が、ある種の数値条件と単純なイデアルの包含関係でわかってしまうという点で、随伴次数環のGorenstein性を判定する簡便かつ実際的な方法を与えたものと思います。さらに我々の結果の注目すべき点を申し上げますと、既存の随伴次数環G(I)のGorenstein性を判定する方法のほとんどは、対象とするイデアルIにgeneric complete intersectionであると言う仮定を付けていますが、我々の開発した判定法は(generic complete intersectionに限らず)一般のイデアルIについて適応できるということです。この結果を、前年度に報告したCohen-Macaulay性の結果と合わせて、共著の論文として発表しました。これによってほぼ満足すべき成果が得られましたが、実はこの結果は、対象とするイデアルIにdepthの特殊な条件を課しております。この点においてまだ不満が残っていますので、今後の研究はこのdepthの条件を弱める(願わくは無くす)ことが課題となっています。弱音を吐くとこれはだいぶ難しそうですが、健闘したいと思っております。
この研究を進めるにあたって、計算機による具体例の解析が不可欠でありますが、科学研究費補助金によって優れた設備を得て、今までの貧弱な設備では考えられない複雑な具体例の解析に着手できています。この場をお借りして感謝の意を表したいと思います。
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