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代数曲線X上にd次の関数があるとき、Xはd-gonalであるという。特に、Xの種数が2以上かつd=2であるとき、Xを超楕円曲線と呼び、d=3のときXをtrigonalと呼ぶ。
モジュラー曲線X_0(N)の上にはアトキン-レーナー対合と呼ばれる一連の対合が存在する。W(N)によってX_0(N)上のアトキン-レーナー対合全体を表すと、W(N)は位数が2^r(ただし、rはNの相異なる素因数の個数)の基本2-アーベル群となる。1970年代にオッグによってX_0(N)のうち超楕円曲線となるものが全て決定された。その後、1990年代後半になって商曲線X_0(N)/W^l(ただしW^lはW(N)の部分群)のうち超楕円曲線となるものが長谷川(本研究代表者)と共同研究者により決定された。この結果は定義方程式の計算を含め具体的に与えられ、そのためX_0(N)/W^lの有理点計算をするにあたり効果的な情報をもたらす。
さて、X_0(N)/W^lのうちtrigonalとなるものの決定が1990年代後半より長谷川(本研究代表者)と志村真帆呂氏との共同研究により開始され、本研究によりすべてのW^lに対しtrigonalとなるX_0(N)/W^lの決定が完了した。その結果、自明にtrigonalとなるものを除けば(つまり種数5以上で考えて)全部で18通りのtrigonal曲線があることがわかった。超楕円曲線のときと同じく、定義方程式の計算などが具体的に与えられているので、X_0(N)/W^lの有理点計算に一定の効果をもたらすと期待される。
本研究で得た結果は2005年3月の日本数学会年会で発表した。また、現在論文投稿準備中である。
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