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本年度の研究成果は、大きく二つに分けられる。
第一のものは、大域体上の多様体のアルバネーゼ核に関するMurreとRamakrishnanの最近の結果を拡張するものである。彼らは、ある仮定の下で楕円曲線の積のアルバネーゼ核が消えないことを示していた。われわれは、(楕円曲線とは限らない)曲線の積に対し、より弱い仮定の下で、任意に位数の大きい場合を構成できるという、はるかに強い結果を示すことができた。この証明では、昨年度の研究で得られていた結果である、局所体上のある種の多様体のChow群を曲線の周期によって明示的に書き表す公式を応用する。ここでは、周期という具体的な対象で、計算しやすい公式を得ていたことが重要な役目を果たした。
第二のものは類体論に関係する。本研究課題は、局所体上の多様体について、普通の(ゼロ次の)Chow群とBrauer群を関係づけることがテーマであった。類体論はこの重要な類似であり、(Blochの)高次Chow群とガロア群を関係づけるものである。両者を結ぶ写像を相互写像という。この問題に関して次の結果を得た:
局所体上の、滑らかで、射影的で、有理点を持ち、semi-stable reductionを持つような曲線の積に対しては、相互写像の核は任意の自然数により可除である。
佐藤周友氏は、局所体上semi-stable reductionを持つK3曲面で、相互写像の核が可除でない例を構成している。その事実とここで示した結果を比較すると、相互写像の核の様子はreductionの善し悪しだけでは決まらず、もっと微妙な振る舞いをすることが明瞭に理解される。
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